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Corrige BTSSE Mathematiques 2004

6 pages
Suites arithmético géométriques, méthode 1: SE 2005, corrigéOn peut essayer de chercher par nous-mêmes: x n −2x n−1 =e n ⇔x n =2x n−1 +1pour n>0 on obtient: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . Pour passer d’un terme au EXERCICE 1 suivant on multiplie par 2 et on ajoute 1.u =au +bEn notations purement mathématiques on écrit ceci et ici dans ce cas n+1 nu =2u +1précis cela donne donc .n+1 nfonction échelon unité: Il y a une formule, hors programme de BTS mais pas pour autant super compliquée; n1−a n n n n+1u =b +a u u =2 −1+2 u =2 −1elle dit que . Vous pouvez remplacer on trouve .n 0 n 01−aBien sûr l’énoncé va vous guider pour retrouver ce résultat.Nota: pour visualiser ce genre de suite un tableur peut être utile n→e n( )A B100schéma du problème: 1 12 3 =2*A1+13 74 15?5 316 6307n→x n 127n→e n ( )( ) 8 255PARTIE 1 y n =x n +1 x n −2x n−1 =12)a)b) on pose ( ) ( ) , et on remplace dans ( ) ( ) , x n −2x n−1 =e n( ) ( ) ( ) on obtient donc:attention, les parenthèses ne correspondent pas à un, produit, mais à deux fonctions,  y n −1−2 y n−1 −1 =1⇔y n =2y n−1( ) ( ) ( ) ( ) x −2x =ex prise en n, x prise en n-1, et e prise en n. On aurait pu écrire aussi .n n−1 ny 0 =x 0 +1 =2La suite y est donc géométrique, avec d’où le terme ( ) ( )1)a) La réponse tient dans le fait que x est un signal causal, c’est-à-dire n+1général de la suite y, qui est:y n =2 e n , on en déduit celui de la ( ) ( )x n =0que pour n<0.( ) n+1suite x, qui est: x n =y n −e n = 2 −1 e n .( ) ( ) ...
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SE 2005, corrigé
EXERCICE 1
fonction échelon unité:
schémâ du problème:
ne(n)
ne(n)
? nx(n)
PARTIE1 x n2x n1=e n ( )( )( ) âttention, les pârenthèses ne correspondent pâs à un, produit, mâis à deux fonctions, x prise en n, x prise en n-1, et e prise en n. On âurâit pu écrire âussin2xn1=en. x
1)â) Lâ réponse tient dâns le fâit quexest un signâl câusâl, cest-à-dire quex(n)=0pour n<0. Ainsi, pour n=0 léquâtion donnex(0)2x(1)=e(0), soit: x0=e0)=1. ( )( b) on prend ensuite n=1,2,3: pour n=1 on obtient:x(12x0=e1x12=1x1=3 ) () () () () pour n=2 on obtient:x(2)2x(1)=e(2)x(2)6=1x(2)=7 pour n=3 on obtient:x(32x2=e3x314=1x3=15. ) () () () ()
Suites ârithmético géométriques, méthode 1: On peut essâyer de chercher pâr nous-mêmes: t: pour n>0 on obtienx(n)2x(n1)=e(n)x(n)=2x(n1)+1. Pour pâsser dun terme âu suivânt on multiplie pâr 2 et on âjoute 1. En notâtions purement mâthémâtiques on écrit cecin+1net ici dâns ce câs u=au+b précis celâ donne doncn+1n. u=2u+1 Il y â une formule, hors progrâmme de BTS mâis pâs pour âutânt super compliquée; n 1a nnn n+1 elle dit quen0. Vous pouvez remplâcer on trouven0. u=b+a uu=21+2u=21 1a Bien sûr lénoncé vâ vous guider pour retrouver ce résultât. Notâ: pour visuâliser ce genre de suite un tâbleureut être utile A B 100 1 3=2*A1+1 7 15 31 63 0 127 255
2)â)b) on posey(n)=x(n)+1, et on remplâce dânsx(n)2x(n1)=1, on obtient donc:   y n12y n11=1y n=2y n1 ( )( )( )( ) Lâ suiteyest donc géométrique, âvecy(0)=x(0)+1=2doù le terme n+1 générâl de lâ suitey, qui est:y(n)=2e(n), on en déduit celui de lâ n+1 x n=y ne n=21 suitex, qui est:( )( )( )( )e(n). Suites ârithmético-géométriques, méthode 2: Essâyons de comprendre un peu lâ méthode utilisée pâr lénoncé. Il sâgit dunesuite auxiliaire. Le principe est le suivânt: pour les suites ârithmético géométriques (donc du typen+1n),on cherche le point fixeα(cest-à-dire quon u=au+b résoud )et lon poseyn=unα. Ensuite en trouvânt une relâtion de récurrence x=ax+b pour lâ suiteyon trouve queyest géométrique donc on exprime son terme générâl. Cest âinsi quon âboutit à lâ formule de lâ méthode 1. Dâns cet exemple le point fixe vérifiex=2x+1x=1doù lâ consigneyn=xn+1. Cette méthode est hors progrâmme sâuf quil fâut sâvoir lâ mener en suivânt les indicâtions de lénoncé.
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