Corrige BTSTP Mathematiques 2005

Description

SE 2005, corrigé 2)a)Voici le schéma demandé, et deux autres aussi pour voir:EXERCICE 12 21)a) g(t)= 1+cos t sin t donc( ){142 43 v(t)u t( ) 2 2 Schémas réalisés avec Géogébra (www.geogebra.org)g′(t)=(−2costsint)sin t+ 1+cos t 2sintcost( ){ 142 43 ∞1 442 4 43 2)b) Dirichlet: la fonction f est C par morceaux (c’est-à-dire infiniment dérivable sauf en 142 43v(t) v′(t)u′(t) u t( ) quelques points discrets), donc elle satisfait largement aux conditions de Dirichlet. 3 3 • Déjà, la fonction étant paire, les b sont nuls.ng′(t)= −2costsin t+2sintcost+2sintcos t12 2 0.5 0.5 τ1 1 g′(t)=2costsint −sin t+1+cos t 2( ) a = f t dt =2 f t dt =2 −τ dt+2 −τdt• Ensuite ( ) ( )0  ∫ ∫ ∫ ∫−0.5 0 0 τ 1 2à partir de là on peut simplifier de plusieurs manières différentes:1 1   2 2 3g′ t =2costsint cos t+cos t = 4cos tsint a =2τ −τ +2 −τ (−τ) d’où a =0• ( ) ( ) 0     0   2 22 2 2g′ t =2costsint −sin t+1+1−sin t =4costsint 1−sin t …• ( ) ( ) ( ) 0.52 2πn ≥1• Enfin, pour , a = f(t)cos(nωt)dt avec ω = =2πn ∫sans intérêt, cela revient finalement au même −0.51 TMais on pouvait aussi très bien utiliser les formules de duplication: 0.512 2 a =4 f(t)cos(2πnt)dtg′(t)=2costsint cos t −sin t+1 =sin(2t) cos(2t)+1 = sin(4t)+sin(2t) qui est joli mais ne sert à rien( ) ( ) n ∫021τ 1  2a =4 −τ cos 2πnt dt+4 −τ cos 2πnt dt( ) ( ) ( )3 n  ∫ ∫1)b) Dans 0;π le sint est positif, et le cos t est du signe de cost 0 τ[ ]  21π  τ1  2donc g croît de g 0 =0 jusqu’à g =1 puis ...

Informations

• Publié par: shin
• Nombre de lectures: 169
• Langue: Français

Extrait