Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

Corrige BTSTRAVP Mathematiques 2006

3 pages
BTS - groupement B - 2006Correction de l’´epreuve de Math´ematiquesExercice 1A . R´esolution d’une ´equation diff´erentielle .′′ ′1. R´esolution de (E ) : y −3y −4y = 0 .02L’´equation caract´eristique est r −3r−4 = 0. Ses solutions sont r =−1 et r = 4 .1 2−x 4xLes solutions de l’´equation diff´erentielle sont donc d´efinies surR par y(x) = λe +μe , ou` λ et μ sont deuxnombres r´eels quelconques.−x2. h d´efinie surR par h(x) =xe est une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (E).−xh(x) =xe donc′ −x −xh (x) = 1×e +x(−e )−x= (1−x)e′′ −x −xet h (x) = (−1)e +(1−x)(−e )−x= (x−2)e′′ ′ −xon v´erifie que : h (x)−3h (x)−4h(x) = [(x−2)−3(1−x)−4x]e−x= [−5]e−xCe qui prouve que h(x) =xe est solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (E).3. Ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle (E)Toutes les solutions de l’´equation (E) sont obtenues en faisant la somme des fonctions solutions de (E ) et d’une0solution particuli`ere de l’´equation (E).−x 4x −xIl en r´esulte que y(x) =λe +μe +xe .′4. Solution particuli`ere f telle que f(0)= 2 et f (0) =−1−x 4x −x ′ −x 4x −xf(x) =λe +μe +xe donc f (x) =−λe +4μe +(1−x)e−0 0 −0il en r´esulte que: f(0) =λe +μe +0×e =λ+μ′ −0 0 −0et f (0) =−λe +4μe +(1−0)e =−λ+4μ+1 λ+μ = 2Les conditions initiales conduisent `a la r´esolution du syst`eme:−λ+4μ+1 =−1 λ+μ = 2 λ = 2 λ = 2Equivalent a` d’ou` soit−λ+4μ =−2 5μ = 0 μ = 0−x 4x −xOn en d´eduit que : f(x) = 2×e +0×e +xe−x= (x+2)eB. Etude locale ...
Voir plus Voir moins
BTS  groupement B  2006 Correctiondel´epreuvedeMathe´matiques
Exercice 1 A.R´esolutiondunee´quationdi´erentielle. ′′ ′ 1.tulose´RE(ednoi0) :y3y4y= 0 . 2 L´equationcaracte´ristiqueestr3r4 = 0.Ses solutions sontr1=1 etr2= 4 . x4x Lessolutionsdele´quationdi´erentiellesontdoncd´eniessurRpary(x) =λe+µeo`u,λetµsont deux nombresr´eelsquelconques. x 2.hrusein´edRparh(x) =xe).(Etienleelidnore´qe´itauciluaptrdele`iretuneestionsolu x h(x) =xedonc ′ −xx h(x) =1×e+x(e) x = (1x)e ′′ −xx eth(x() =1)e+ (1x) (e) x = (x2)e ′′ ′x onv´erieque:h(x)3h(x)4h(x[() =x2)3 (1x)4x]e x = [5]e x Ce qui prouve queh(x) =xendio´eintrellie)E(e.setsolutionparticuile`eredle´uqta 3.)E(elleitEmesndelble´nodsulitseoserendi´tionequa Touteslessolutionsdel´equation(E)sontobtenuesenfaisantlasommedesfonctionssolutionsde(E0) et d’une solutionparticulie`redel´equation(E). x4xx Ilenre´sultequey(x) =λe+µe+xe. 4.uloSnoittrapiculi`ereftelle quef(0) = 2 etf(0) =1 x4xx′ −x4xx f(x) =λe+µe+xedoncf(x) =λe+ 4µe+ (1x)e 0 00 ilenr´esulteque:f(0) =λe+µe+ 0×e=λ+µ ′ −0 00 etf(0) =λe+ 4µe+ (10)e=λ+ 4µ+ 1 λ+µ= 2 Lesconditionsinitialesconduisent`alar´esolutiondusyste`me: λ+ 4µ+ 1 =1  λ+µ= 2λ= 2λ= 2 Equivalent`ado`usoit λ+ 4µ=2 5µ= 0µ= 0 x4xx Onende´duitque:f(x2) =×e+ 0×e+xe x = (x+ 2)e B. Etude locale d’une fonction 1.vele´Demtnpoept´e`limirdrealoisiovua3.0edegan 2 32 3 t tx x t3x3 On sait que :e= 1 +t+ + +t ε(t) donce= 1x++x ε(x) aveclimε(x) = 0 2 62 6 x0 x f(x(2 +) =x)e   2 3 x x 3 = (2 +x) 1x++x ε(x) 2 6 3 3 x x 2 23 = 22x+x+xx+ +x ε(x) 3 2 3 x 3 = 2x+ +x ε(xlim) avecε(x) = 0 x0 6 2.Tangente au point d’abscisse 0 Onsaitquele´quationdelatangentecorrespondaude´veloppementlimit´e`alordre1auvoisinage de0.Ilenre´sultequelatangenteTapoure´quation:y= 2x
1
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin