Corrige EDHECL Mathematiques 2006 HEC S

Description

EDHEC 2006 : option S Corrigé de l’épreuve de mathématiques Exercice 1 1 11) a) ( ( f – λ Id) – ( f – λ Id) ) = ( λ – λ ) Id = Id. 1 2 2 1λλ− λλ−21 21 m b) D’après la question 1a), on a, pour tout x élément de C l : 1 1Id(x) = ( ( f – λ Id) – ( f – λ Id) ) (x) = ( ( f – λ Id) (x) – ( f – λ Id) (x) ), d’où : 1 2 1 2λλ− λλ−21 211 1x = ( f – λ Id) (x) – ( f – λ Id) (x), ce que l’on peut écrire, par linéarité de f : 1 2λλ− λλ−21 211 −1x = ( f – λ Id) ( x) + ( f – λ Id) ( x). 1 2λλ− λλ−21 211 −1 mEn posant x = ( f – λ Id) ( x) et x = ( f – λ Id) ( x), on a : ∀x ∈ C l, x = x + x . 1 1 2 2 1 2λλ− λλ−21 21On va maintenant vérifier que x appartient à Ker (f – λ Id) et que x appartient à Ker (f – λ Id). 1 2 2 11 1( f – λ Id) (x ) = ( f – λ Id)( ( f – λ Id) ( x) ) = (( f – λ Id) o ( f – λ Id) ) ( x). 2 1 2 1 2 1λλ− λλ−21 21On vérifie, en développant, que (f – λ Id) o ( f – λ Id) = (f – λ Id) o ( f – λ Id) d’où : 2 1 1 21 1( f – λ Id) (x ) = (( f – λ Id) o ( f – λ Id) ) ( x) = θ ( x) = 0. 2 1 1 2 λλ− λλ−21 21On a donc : x ∈Ker ( f – λ Id). 1 2 De même : −1 −1( f – λ Id) (x ) = ( f – λ Id)( ( f – λ Id) ( x) ) = (( f – λ Id) o ( f – λ Id) ) ( x). 1 2 1 2 1 2λλ− λλ−21 21−1On obtient tout de suite : ( f – λ Id) (x ) = θ ( x) = 0. 1 2λλ−21On a donc : x ∈Ker ( f – λ Id). 2 1 mOn vient de montrer que : C l = Ker ( f – λ Id) + Ker ( f – λ Id). 1 2 Il reste à montrer que cette somme est ...

Informations

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• Langue: Français

Extrait

EDHEC 2006 : option S

Corrigé de l’épreuve de mathématiques

Exercice 1

1) a)

1

2

1

λ

λ

−

(

(

f

–

λ

1

Id

) – (

f

–

λ

2

Id

)

)

=

1

2

1

λ

λ

−

(

λ

2

–

λ

1

)

Id

=

Id

.

b)

D’après la question 1a), on a, pour tout

x

élément de C

l

m

:

Id

(

x

) =

1

2

1

λ

λ

−

(

(

f

–

λ

1

Id

) – (

f

–

λ

2

Id

)

)

(

x

) =

1

2

1

λ

λ

−

(

(

f

–

λ

1

Id

)(

x

) – (

f

–

λ

2

Id

)(

x

)

)

, d’où :

x

=

1

2

1

λ

λ

−

(

f

–

λ

1

Id

)(

x

) –

1

2

1

λ

λ

−

(

f

–

λ

2

Id

)(

x

), ce que l’on peut écrire, par linéarité de

f

:

x

= (

f

–

λ

1

Id

)(

1

2

1

λ

λ

−

x

) + (

f

–

λ

2

Id

)(

−

−

1

2

1

λ

λ

x

).

En posant

x

1

= (

f

–

λ

1

Id

)(

1

2

1

λ

λ

−

x

) et

x

2

= (

f

–

λ

2

Id

)(

−

−

1

2

1

λ

λ

x

), on a :

∀

x

∈

C

l

m

,

x

=

x

1

+

x

2

.

On va maintenant vérifier que

x

1

appartient à Ker(

f

–

λ

2

Id

) et que

x

2

appartient à Ker(

f

–

λ

1

Id

).

(

f

–

λ

2

Id

)(

x

1

) = (

f

–

λ

2

Id

)

(

(

f

–

λ

1

Id

)(

1

2

1

λ

λ

−

x

)

)

=

(

(

f

–

λ

2

Id

)

o

(

f

–

λ

1

Id

)

)

(

1

2

1

λ

λ

−

x

).

On vérifie, en développant, que (

f

–

λ

2

Id

)

o

(

f

–

λ

1

Id

) = (

f

–

λ

1

Id

)

o

(

f

–

λ

2

Id

) d’où :

(

f

–

λ

2

Id

)(

x

1

) =

(

(

f

–

λ

1

Id

)

o

(

f

–

λ

2

Id

)

)

(

1

2

1

λ

λ

−

x

) =

θ

(

1

2

1

λ

λ

−

x

) = 0.

On a donc :

x

1

∈

Ker(

f

–

λ

2

Id

).

De même :

(

f

–

λ

1

Id

)(

x

2

) = (

f

–

λ

1

Id

)

(

(

f

–

λ

2

Id

)(

−

−

1

2

1

λ

λ

x

)

)

=

(

(

f

–

λ

1

Id

)

o

(

f

–

λ

2

Id

)

)

(

−

−

1

2

1

λ

λ

x

).

On obtient tout de suite : (

f

–

λ

1

Id

)(

x

2

) =

θ

(

−

−

1

2

1

λ

λ

x

) = 0.

On a donc :

x

2

∈

Ker(

f

–

λ

1

Id

).

On vient de montrer que : C

l

m

= Ker(

f

–

λ

1

Id

) + Ker(

f

–

λ

2

Id

).

Il reste à montrer que cette somme est directe, soit que Ker(

f

–

λ

1

Id

)

∩

Ker(

f

–

λ

2

Id

) = {0}.