Corrige ENAC ICNA Epreuve optionnelle 2002 PC

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vAICNA - SESSION 2002 ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE CORRIGÉ Électromécanique. 1. Le champ magnétique étant radial et d'intensité constante chaque spire s du solénoïde est soumise à la même force de Laplace. La résultante de ces forces est donc : 2 πFB=∧idAA=N id∧B=−NaiB dθe∧=2πNiaBe() Lrzvv∫∫∫S s02. Le théorème de la résultante dynamique (ou théorème de la résultante cinétique) appliqué à la bobine, à partir de sa position d'équilibre, dans le référentiel – supposé galiléen - lié au bâti fixe, nous donne l'équation mécanique : 2d z (t ) dz (t )m + f + kz()t = 2 πNaBi()t 2 dtdt3. Lorsque la bobine se déplace dans B, sans se déformer, il apparaît une f.é.m. induite : di t di t dz t() ( ) ( )e' t =−L +N vB∧ d =−L −2πNaB () ()∫dt dt dtsLa loi d'Ohm généralisée, e(t) + e'(t) = Ri(t), conduit alors à l'équation électrique : di()t dz (t )L + Ri()t + 2 πNaB = e()t = E cos(ωt) 0dt dt4. En régime sinusoïdal forcé à la pulsation ω les équations mécanique et électrique s'écrivent :   kf +  jm ω +  v()t = 2 πNaBi()t , (R + jL ω)i()t + 2 πNaBv()t = e()t   j ω    Par élimination de v()t entre ces deux équations on obtient :   2()2 πNaB ()R + jL ω + I = E 0  k    f + jm ω + j ω   que l'on peut mettre sous la forme :   2   2 2 () ( )()2 πNaB ω f 2 πNaB k − m ω    R + + j ω L + I = E 0 2   2  2 2 2 2 2 2 k − m ω + f ωk − m ω + f ω    On en déduit par identification : 2(2 πNaB ω ) fα()ω = 22 ...

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Extrait

Électromécanique.

CORRIGÉ

1.Le champ magnétique étant radial et d'intensité constante chaque spire s du solénoïde est soumise à la même force de Laplace. La résultante de ces forces est donc : 2π F L = ∫v i dA∧B=N ∫v i dA∧B= −NaiB ∫ d ( θe θ ∧e r ) =2πNiaBe z  Ss 0

2.Le théorème de la résultante dynamique (ou théorème de la résultante cinétique) appliqué à la bobine, à partir de sa position d'équilibre, dans le référentiel  supposé galiléen - lié au bâti fixe, nous donne l'équation mécanique : m d 2 z(t + f dz t +kz t=2πNaBi dt 2 ) dt  ) ( ( )  (t) 

3.

Lorsque la bobine se déplace dansB, sans se déformer, il apparaît une f.é.m. induite : di ( t ) di t ) dz t ) e ' t= −L+N∧d= −L−2 NaB ( ) dt ∫v ( v B ) A dt π dt s

La loi d'Ohm généralisée, e(t)+e'(t) = Ri(t), conduit alors à l'équation électrique : d t  Ri t 2 NaB  dz t ) L i d ( t  π +  ) ( ) + dt = ( e ( t ) = E 0 cos (ω t ) 

4.En régime sinusoïdal forcé à la pulsationωles équations mécanique et électrique s'écrivent :     f   +  jmω + k jω        v(t) =2πNaBi(t),(R+jLω)i(t) +2πNaBv(t) =e(t)  Par élimination de v ( t ) entre ces deux équations on obtient :     ( R+jL ω) + f ( +   2 j πN mω aB + ) 2 k j        I=E 0      ω    que l'on peut mettre sous la forme : π−ω         R+ k− ( m 2π ω N 2 aB 2 + )ω 2 f f 2 ω 2  +    jω     L + (2 mk NaB) ω 2 2 2 k +f m 2 ω 2 2         I=E 0  − On en déduit par identification : ) α(ω) = k− ( 2 m π ω N 2 aB 2 + ω f 2 f 2 ω 2 

5.Et : β(ω) =  (2πNaB m ) 2 2 2 k−m f 2 ω 2 2 kωω+− Notons que Z m = α(ω)  +j ω β(ω) est l'impédancemotionnelle.



AC