Corrige GEIPI Mathematiques 2006

Description

NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREEELe sujet comporte 10 pages num¶erot¶ees de 2 µa 11EXERCICE I - (7.5 points)Donner les r¶eponses µa la Partie A de cet exercice dans le cadre pr¶evu µa la page 3On considµere la fonction f d¶eflnie sur ]0; +1[ par :lnxf(x) =xSoitC la courbe repr¶esentative de f dans un repµere (O;~{;~|) orthogonal.fPartie AI-A-1- Calculer lim f(x) et lim f(x).+ x!+1x!00 0I-A-2-a- D¶eterminer f (x), ouµ f d¶esigne la d¶eriv¶ee de f.2-b- Dresser le tableau des variations de f sur]0;+1[. Pr¶eciser f(1) et f(e).2-c- En d¶eduire que f admet un maximum M que l’on donnera.I-A-3- Tracer la courbeC . On placera avec soin les points deC d’abscisses respectives 1f fet e.I-A-4- Donner, suivant les valeurs de x appartenant µa ]0;+1[, le signe de f(x).I-A-5- SoitA un r¶eel. On veut d¶eterminer, suivant les valeurs deA, le nombre de solutionsde l’¶equation :f(x) = ADistinguer les difi¶erents cas et pr¶eciser, pour chacun d’eux, le nombre de solutionsappartenant µa chaque intervalle ]0; 1], ]1; e] ou ]e; +1[.2/11 CONCOURS GEIPI 2006MATHEMATIQUESNE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREEEREPONSES A L’EXERCICE I (Partie A)I-A-1- lim f(x) = ¡1 lim f(x) = 0+ x!+1x!01x ¡ lnx 1¡lnx0 xI-A-2-a- f (x) = =2 2x xI-A-2-b-x 0 1 e +1f(1) = 00f (x) + 1 + 0 ¡1 1f(e) =e ef(x) 0¡1 01I-A-2-c- M =e1I-A-3-~|1eO 1 e~{I-A-4- x 0 1 +1signe de f(x) ¡ 0 +I-A-5-Conditions sur A Nombre de solutions de f(x) = ASi A v¶erifle : dans ]0; 1] dans ]1; e] dans ...

Informations

• Publié par: shin
• Nombre de lectures: 276
• Langue: Français

Extrait

NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE

Lesujetcomporte10pagesnume´rot´eesde2`a11

EXERCICE I - (7.5 points) Donnerlesr´eponses`alaPartieAdecetexercicedanslecadrepre´vua`lapage3

Onconsid`erelafonction f d´efiniesur ] 0; + ∞ [ par : f ( x ) =  ln x x Soit C f lacourberepr´esentativede f dansunrepe`re ( O,~ı,~ ) orthogonal.

Partie A

I -A-1-Calculer x l → im 0 + f ( x ) et x l → i + m ∞ f ( x ) . I-A-2-a-De´terminer f 0 ( x ) ,o`u f 0 de´signelade´rive´ede f . 2-b-Dresser le tableau des variations de f sur ] 0 ; + ∞ [ .Pr´eciser f (1) et f ( e ) . 2-c-Ende´duireque f admet un maximum M que l’on donnera.

I-A-3-Tracer la courbe C f . On placera avec soin les points de C f d’abscisses respectives 1 et e .

I-A-4-Donner, suivant les valeurs de x appartenant`a ] 0 ; + ∞ [ , le signe de f ( x ) .

I-A-5-Soit A unr´eel.Onveutde´terminer,suivantlesvaleursde A , le nombre de solutions del’e´quation: f ( x ) = A Distinguerlesdiff´erentscasetpre´ciser,pourchacund’eux,lenombredesolutions appartenanta`chaqueintervalle ]0 ; 1] , ]1 ; e ] ou ] e ; + ∞ [ .

2/11

CONCOURS GEIPI 2006 MATHEMATIQUES