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Corrige UTBM Integration Algebre lineaire Fonctions de plusieurs variables 2007 TC

5 pages
6le 17 Avril 2007UTBM MT12M¶edianCalculatrices interdites. Le seul document autoris¶e est une feuille A4recto-verso r¶edig¶ee µa la mainChaque exercice doit ^etre r¶edig¶e sur une feuilledifi¶erenteIl sera tenu compte dans la correction de la pr¶esentation et de la r¶edaction correcte desd¶emonstrations.Exercice 1 (Applications directes du cours) - 6 pointsDanscetexercice,aucunequestionnen¶ecessiteplusdequelqueslignespour^etre r¶esolue. Justifler les r¶eponses1) Donner 4 sous-espaces vectoriels duR-espace vectoriel d¶eflni par0 1x3@ AE =f y 2R ;x=ygz0 1 0 1 0 10 1 1@ A @ A @ A[f 0 g, E, vect(f 1 g), vect(f 1 g) .]0 1 02) Peut-on construire une application lin¶eaire injective mais non surjective?µ ¶x2[oui, f :R¡!R avec f(x)= .]x0 1 0 1m m@ A @ A3) Pour quelles valeurs de m2R, les vecteurs V = m+1 , V = 2m+2 ,1 2m 2m0 10@ AV = m+1 sont-ilsind¶ependants?(pasplusd’unedemi-pageen¶ecrivantgros)3m+10 1 0 1m m 0 m 0 0@ A @ A[det( m+1 2m+2 m+1 )=det( m+1 m+1 m+1 )m 2m m+1 m m m+10 1m 0 0@ A=det( m+1 m+1 0 )=m(m+1). Donc famille libre ssi m=0;¡1]m m 14) En reprenant les vecteurs ci-essus, quelle est la dimension du sous-espace vectorielF =vect(V ;V ;V ) pour m=¡1;0;1.1 2 31[Pour m = 1, dim(F) = 3. Pour m = 0, dim(F) = 2. Pour m = ¡1,dim(F)=2.]0 1¡13@ A5) Quelles sont les coordonn¶ees de V = ¡2 dans la base deR :00 1 0 1 0 11 1 0@ A @ A @ AB =f 1 ; 2 ; 1 g:1 1 10 11@ A[V = ¡2 ]B16) Quelle est la matrice de passage de la base B ...
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le 17 Avril2007 UTBM MT12
M´edian Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-versor´edig´ee`alamain
Chaqueexercicedoitˆetrer´edig´esurunefeuille die´rente
Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapre´sentationetdelare´dactioncorrectedes d´emonstrations.
Exercice 1(Applications directes du cours) - 6 points Danscetexercice,aucunequestionnene´cessiteplusdequelqueslignespour ˆetrer´esolue.Justierlesr´eponses
1) Donner 4 sous-espaces vectoriels duR-esaripne´dleirotcevecap   x 3   E={yR, x=y} z     0 11     [{0},E,vect({1}),vect({1}) .] 0 10 2)Peut-onconstruireuneapplicationline´aireinjectivemaisnonsurjective? µ ¶ x 2 [oui,f:R−→Ravecf(x.]) = x    m m    3) Pour quelles valeurs demR, les vecteursV1=m+ 1,V2= 2m+ 2, m2m   0   V3=m+ 1-tliisdnsnots?(´ependanimedgap-dsulenuntvaosgrn´eeriecpasp) m+ 1    m m0m0 0    [det(m+ 12m+ 2m+ 1) =det(m+ 1m+ 1m)+ 1 m2m m+ 1m mm+ 1   m0 0   =det(m+ 1m0 )+ 1=m(m+ 1).Donc famille libre ssim6= 0,1] m m1 4) En reprenant les vecteurs ci-essus, quelle est la dimension du sous-espace vectoriel F=vect(V1, V2, V3)pourm=1,0,1.
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