Deuxième composition de Mathématiques 2005 CAPES de mathématiques CAPES (Externe)

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Concours de la Fonction Publique CAPES (Externe). Sujet de Deuxième composition de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Deuxième composition de Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.

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• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 avril 2008
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• Langue: Français

Extrait

– 2 –

Saufexceptionsdˆumentsignal´ees,chaquepartiepeuteˆtretraite´e ind´ependammentdesautres.

Danstoutleproble`me,onseplacedanslecadred’unplaneuclidienΠort´erapp −→−→ `aunrepe`reorthonorme´direct(, O, ı)truapaopaprrseeonn´oordlescquel sontnote´esxety. La droiteΔoitantfidne´sepaieonrsqu´ex=aou`aest une constanter´eellestrictementpositive;ellecoupel’axedesabscissesaupointA.

La notation :

 X={M ϕ(x, y) = 0}

de´signelapartieXd´anniefipldusdespointneesbmelcemoem’lMdont les coordonne´es(x, y)eg’´tlenifierv´e´latiϕ(x, y) = 0easppteatlioornsrelale´teteec; une´equationdeXioitfin´egulonana´soptseeelsnadeecasdecoordonn´eesnUde. −→ polaires(ρ, θ)aprrrtporeauerp`rofede´mioputnapOet de la demi-droiteR + ı.

Premie`repartie

Soitknocenutreslleer´teanstrapce´detiropisitevcietemtnlacourbe.OnnoteΦ le pointMonrdeesn:´dooec

x=a+kcost, y=atant+ksint i hi h π ππ3π ou`te´dlar´critoneuni−,∪,. On noteHla projection orthogonale 2 22 2 deMΔe’droodnne´esurΔetΩlepointdatant.

1.1Dans le cas particuliera= 1,kns,´atiovaribeΦ(ocrurealutid,2e´=dutee asymptotique,pointssinguliers,repre´sentationgraphique...);onpourras’aider d’une calculatrice graphique.

1.2eral´en´casgnsletn:gnausiite,dnonDderuadΦelrenlla’ a)lescaso`u0< k < a, b)lecasou`k=a, c)lescaso`uk > a.

1.3D´eterminerunefoitcnopnoonyllaimefeluqtslee`auxderivaleab f(x, y.Φedn=)tune0soiatio´equ

1.4eΦed.nurennoDtiuaeqe´irlapoon

1.5stnige´rlrenopseetD´mieruliersMde Φ et donner en ces points les coor- donne´esd’unvecteurnormal.

1.6ni’dsretitcenoiotndspu´needrnoscooerlelculCaRde la normale enM avecladroited’´equationy=atantu`osacedanslMs`pantiexe’aaltrappa’n des abscisses. Que peut-on dire du triangleROΩ ?

– 3 –

Deuxi`emepartie

Sonttraite´esiciquelquespropri´et´esdesconiquesexclusivementuti- lis´eesdanslestroisie`meetquatri`emeparties.

Unaxeestde´finiparunedroiteD, un pointO 1 deDet un vecteur unitaire −→ udirigeantD. Pour tout couple(A, B)de points deD, on appelle mesure alge´briqueetl’onnoteABneec´ffrealidx B −x A de leurs abscisses relatives au −→ repe`re(O 1 , u)pe´dnitsdetnadnerauerqmaeell’equnoer:upointO 1 . La distance de deux pointsMetNdeelaupstnet´noM N. S’ils sont distincts, on note(M N)l’unique droite qui les joint.

Sur l’hyperbole

´ 2.1Eci-ene,ilutipecquroeuqi´ras,nalsniasdanslepdeThal`ee´roe`emirerelht santlesmesuresalge´briquesde´finiesci-dessus:onsedonneradeuxaxesdistincts 0 00 coupant chacun un triplet de droites (D, D, Dtnossere`inrd)noltseedxued parall`elesetdisjointes,etl’one´crira,sansjustification,uneconditionn´ecessaire etsuffisantesurlessixpointsd’intersectionpourquelesdeuxpremie`resle soient,´eclaire´eparunefigurea`mainlev´ee.

n point (O 1 y) points

2.2dΠnolpnaseudsixattrooienSunestnace´s,rsieempruxdeestl O 1 , sont respectivement l’axe des abscisses (O 1 xxe’asodeonrdeen´slte) d’uncertainrep`ereaffine,letroisie`melescoupantrespectivementendeux distinctsUetV. Pour tout pointMde (U V), autre queUouV, on notePetQses projectionsrespectivessurchacundesdeuxaxesdecoordonne´esparalle`lement `al’autre.D´eterminerl’uniquehyperboleHpassant parMet admettant (O 1 x) et (O 1 y) comme asymptotes (on pourra introduire les projections sur les axes 0 d’un point courantMdeH).

` 0 2.3delpmexerapedia’Aloinpntrtreuqu’`lsem,noemedeThauth´eor`Mde (U V), distinct deM`at,airtanpepHeuqirte´ednts’lemetsymilesstueise,M par rapport au milieu de [U V].

2.4unreinpotisnono’ltiafdnetpri´et´eobtient-QeullpeorNdeHversM?

Sur la parabole

Dans ce qui suit,Mest un point d’une parabolePde foyerF, de sommetSet de directriceD, etHsa projection orthogonale surD.

2.5SoitTaide´malsudecirt[ntmeegF H]. Montrer que, pour tout pointN deTeddrentiff´eMet se projetant orthogonalement enKsurD, on dispose del’in´egalit´eN F> NKlisecno’isnore`dnpeuntoiC.ree´ustltareste-t-ilvalabl 0 00 Ntel queN F >N H?

2.6ede´ce´raleuqetnteenngta`ae´udDelaqiredionpuestPenMest la m´ediatricedusegment[F H].

Tournez la page S.V.P.

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2.7Quel est l’ensemble des projections orthogonales deFaenngs`terlsutaes la parabole?

2.8Ctnioier´c´ntpsieeladlsbetripeplopisrntcieodn’´uentpaleatptueiqsuseas parrapporta`uncercle. a) SiAetBcevase´ngilatndspxiodtuesnolanΠedupercl’uncM, onde´finitlapuissancedeMpar rapport au cercle comme le nombre 2 M A.M Bs’ils sont distincts, etM As’ils sont confondus et siMap- ´ partienta`latangenteenAbatE.hocalril.niefiontitece´detere´decn b) Si (x 0 , y 0 nn´eesdeescoordoceuolpde)seltMeerp`ernua`sevitaler orthonorm´edanslequellecercleapoure´quation:

2 2 C(x, y) =x+y−2ax−2by+c= 0,

montrer que la puissance deMse´tgela`eaC(x 0 , y 0 ). c) Quepeut-on dire des points de puissance nulle par rapport au cercle? d)D´eterminer(parexempleanalytiquement)l’axeradicaldedeuxcercles decentresdistincts,c’est-`a-direlelieudespointsayantmeˆmespuis- sancesparrapport`acescercles.

0 0 2.9Soit (M, M) un couple de points distincts deP,Ileur milieu etHetH leurs projections orthogonales respectives surD. a)De´terminerl’ensembledespointsayantmeˆmepuissanceparrapportaux 0 deux cercles passant parFreetr´esenemtnectnpsceitevMetM. b) SoitJexa’lednplacidarnt’ilioctseertciridereuecQ.´eder´ecdelantet 0 peut-on dire du triplet de points (J, H, H) ?

2.10itt´neodee´sacotrldbetsidaelrpniicapeClertptpeoqiurees´Payant une directiondonn´ee. 0 a) Montrerque, lorsque l’on fait varier le couple (M, M)aelqunoc¸afed 0 droite (M M)ep,lntoitcoifinexuaeniderall`ele`resteparI´editcrrolas unepartied’unedroiteorthogonalea`D. 0 b)Quedevientlaconfigurationpre´ce´dentelorsqueladroite(M M) devient tangente`alaparabole?Relierlafigureainsiobtenueaure´sultatdela question 2.7. c)Soitunedroitequelconqueperpendiculaire`aD. Montrer qu’elle est unaxedesym´etrie(g´ene´ralementnonorthogonale)pourlaparabole etdonneruneconstructionge´ome´triquedeladirectionselonlaquelle s’exercecettesyme´trie.

2.11SoitQun point dePdistinct deSet (N, M) un couple de points distincts dePaele`all`eparcord´edrmteaninnetuSQ. On noteLpeiolrpaniefid´nt −→→− N L=SQ,Arte´myselogonaldeiqueorthNro`tlaa’praarppxeSFde la parabole, Ω etRepsersnoapsevitcle`ellral’`antmejeorpxiatdceeselAet deQ −→−−→ sur (N Mtseupnoice´rede´elnteg’´ital´e´edu).DelaqiredN L= ΩM. ´ Etendreler´esultataucasou`M=N’oulo`ete(tiordalecalpmernN M) parlatangentea`PenN.