Deuxième composition de Mathématiques 2006 CAPES de mathématiques CAPES (Externe)

Description

Concours de la Fonction Publique CAPES (Externe). Sujet de Deuxième composition de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Deuxième composition de Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2006

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 avril 2008
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

1Pr ´ esentationdujeu. 1.1 Les re`gles du jeu. Letournoi est un jeu comportant une suite de manches (appele´es duels) opposant deux joueurs, jamais plus.Les joueurs vont entrer en jeu successivement, tant qu’aucun d’entre euxn’aurae ´ te ´ d ´ eclare ´ vainqueur,etformentainsiunesuite(J 0 ,J 1 , . . .) aussi longue qu’il faudra, infinie de joueurs n) cequinousconduit ` aconsid ´ ererunesuiteote ´ e(J n n ∈N . Le premier duel opposeJ 0 etJ 1 , le vainqueur reste en jeu et se voit opposerJ 2 qui entre pour le deuxi ` emeduel.Plusg ´ ene ´ ralement,len ie`me duel ( n≥2) oppose le joueurJ n , qui entre alors en jeu,auvainqueurduduelpr ´ ece ´ dent,leperdantquittantlejeu. On convient enfin que le premier joueur qui remporteNdus,elecn ´ saesmerictne ´ snotucesetfi,s de´clare´ vainqueur et que le jeu prend fin. Nutse’aale ` x ´ rfiientneomni ´ sgeavcn,euaal ` a2,et valable pour tout le de´roulement du tournoi. Lebutdeceproble ` meestderendrecomptedecetypedejeuenenproposantdiversesmod ´ elisations probabilistes.Ons’int ´ eresseraainsiplusparticulie ` rementa ` ladure ´ edujeu,c’esta ` direaunom bre de duels ayant eu lieu avant la proclamation du vainqueur.

1.2Lesre ` glescommunesauxdiff ´ erentesmod ´ elisationsal ´ eatoires. Lasuccessiondesduelsenparfaitementd ´ ecritesionconnait,pourchacun,lesnum ´ erosdes participantsetlenum ´ erodugagnant,celatantquelejeucontinue,c’esta ` diretantqu’aucun desjoueursn’ae ´ t ´ ed ´ eclar ´ evainqueur.Onsupposeraquechaqueduelestunjeudehasard,on conside`rera ainsi le nreoiat ´ erpueevlamoemnue ´ emeduelci ` E n , dont on observera les re´sultats possibles. Onpr ´ esupposera,sanscherchera ` l’expliciter,l’existenced’unespacedeprobabilit ´ e(Ω, A ,P) permettantdemode ´ liserlejeuetons’attachera ` ade ´ crirel’universdespossibles,c’est ` adireles issuesdesdiffe ´ rentese ´ preuves,ainsiquelamani ` eredontonaffectedesprobabilite ´ sauxre ´ sultats observ ´ es.Lesmod ` elespropos ´ esdevrontrespecterlesre ` glessuivantes: 1.Lepremierduel:laprobabilit ´ equelere ´ sultatde E 1 soit 1 (J 1 est le gagnant du premier duel) estpu ` o,p est un e´le´ment de ]0,1[lbe ` peoruoltnatsx ´ edfictnateva0ltsu ´ eat,lme ´ eer laprobabilit ´ e(1−p). 2. Lesduels successifs : (a) Pourn≥ 2, l’e´preuve E n , si elle a lieu, ne depend de celles qui l’on pre´ce´de´es que parlenum ´ erodujoueuroppos ´ e ` aJ n i.quiaremport ´ eleduelpr ´ ec ´ e(deenctu)l ultat estnt ´ eg ` o)eus( ) (b)Laprobabilit ´ epourJ n de remporter ce duel (le re´sale a` p n ,p k k ≥2 est une suite d’e´le´ments de ]0,1[e ´ etantvstoppos ´ qriuuleil,jeuouecevaenuqniarueu probabilite´ 1 −p n . On admettra par ailleurs que, pour toute suite( A n )ntoitdsetlon ´ earoinunsjditsenemenv ´´ e’d n∈N estdeprobabilit ´ e1,ilexisteunevariableal ´ eatoireX ` asnasdurlevaN ve´rifiant : ∀n∈N,P[X=n] =P( A n )

2 Pre´liminaires. Onseproposeicided ´ emontrerdiversre ´ sultatsquipourront ˆ etreutilis ´ esdanslasuiteduprobl ` eme. 1

2.1R ´ esultat1. (x n )et(y n )rmtepoesuixtdseu ` natessofiire:tnaitis ´ vsf n∈Nn∈N x n ∼y n n→+∞ 1. Justifier, pour toutεstrictement positif, l’existence d’un entier naturel non nuln 0 tel que pour toutnse ´ puueir ´ uoraleg ` an 0 on ait : n n n 0 −1 n ∑ ∑∑ ∑ x k −y k ≤(x k −y k ) +εx k   k=0k=0k=0k=n 0 2.Ende ´ duireque,silas ´ eriedetermeg ´ en ´ eralx n est divergente, on a : n n ∑ ∑ x k ∼y k n→+∞ k=0k=0 2.2 Re´sultat 2. 1.(u)est un n n ∈N re ´ nlamrete ´ geers ´ deieeqlllaueisitsfetetmrseopesuite ` au n soit convergente. 1.a.Montrerqu’onde ´ finitunesuiteder ´ eelsparlarelation: +∞ ∀n∈N,v n =u k ∑ k=n+1 Quelle est la nature de cette suite ? 1.b. Justifier pour tout entier naturelnnon nul : n n−1 ∑ ∑ ku k =v k −nv n k=1k=0 1.c. Montrer que si la se´rie de terme ge´ne´ral v n ente,alotconvergeiedetmrsral ´ srere ´ ne ´ gelase nu n est convergente. 1.d.Montrerquesilas ´ eriedetermeg ´ ene ´ ralnu n detereem ´ gnee ´ arleoctsrevnntgeloealarsitsu nv n converge vers 0. Indication :tnemrpa,lse ` ova’juirifiste, ´ eilutOpnourra ´ eventuellealersireno:alit ∗ ∑ ∀n∈N,v n−1 = (v k−1 −v k ) k≥n pour majorer l’expressionnv n−1 , lorsquenest un entier naturel non nul. 1.e.End ´ eduirequelesse ´ riesdetermesg ´ en ´ erauxrespectifsnu n etv n n ´ taulimtsonsnoctneme vergentesetdem ˆ emesomme. 2. Danscette question,Xevariableal ´ eato ´ dsegiennu ´ teepedacsplibibaronfie ´ derienurusei (Ω, A ,P)prenant ses valeurs dansNecisesp ´ eranadmetune’uqeellee ´ rpde ` ceceduieq ´ e.Dirdu etseulementsilas ´ eriedetermege ´ ne ´ ralP[X>n] est convergente et qu’on a alors l’e´galite´ : +∞ E[X] =P[X>n] ∑ n=0

2

2.3 Re´sultat 3. n (a n )tareti ` eenusseutelleifstositmesp ` itneeire ´ saleuqeer ∑ a n xadmette un rayon de n∈N convergenceRstrictement positif. On note : n ∑ ∀x∈]−R,R[,f(x) =a n x n≥0 1. Montrer quef(x)admet une limite finie lorsquextend versRsur[0,R[si et seulement sifest majore´e sur [0,R[. Onsupposedanslasuitedecettepartiequel’unedecesconditions ´ equivalentesestr ´ ealise ´ eet on noteLla limite. 2.a. Montrer que, pour toutnentier naturel : n k a k R≤L ∑ k=0 n 2.b.End ´ eduirequelase ´ riedetermege ´ ne ´ rala n Rest convergente. 2.c.Montrerquelas ´ erieentie ` reestnormalementconvergentesur[−R,R]uq:e.nE ´ ddeiuer n a n R=limf(x) ∑ − x→R n≥0

3Premi ` eremode ´ lisation:lecasparticulierN=2. Danscettesectiononobservelasuitedesnume ´ rosdesdiff ´ erentsvainqueurssuccessifs.L’univers des possibles est alors l’ensemble des listes (e´ventuellement infinies) repre´sentant les nume´ros des joueurs vainqueurs aux diffe´rents combats. Ainsi :(0,2,3,3)mocrpe ´ resenteraunjeude4 batsremport ´ essuccessivementparJ 0 ,J 2 ,J 3 etJ 3 qui est alors de´clare´ gagnant du tournoi, ce qui met fin a` celuici. On note D n , pournmuiosne ´ ane ´ eev’ ´ ,la2l ` ga:tnemeissu ` al’ ˆ eterra’suejel dun ie`me duel . 1.a. ExpliciterD 2 a` l’aide de la mode´lisation propose´e. 1.b.Plusg ´ ene ´ ralement,expliciterD n+1 lorsquenl ` ga.a2estutnenareiiomue ´ sn 2. Dans cette question on suppose que, pour toutn≥2,p n al ` ga ´ estep. S ifier queDest 2.a. CalculerP(D n )pourna ` .2 ´ Vreor ´ ugelaup ´ erieus n≥2 n un e´ve´nement de probabilite ´ 1.Interpr ´ etercer ´ esultat. 2.b.Onpeutalorsconsid ´ ererunevariableale ´ atoireT e´gale au nombre de duels qui ont effective menteulieulorsquelejeus’arre ˆ te.Calculer,apr ` esavoirjustifie ´ leursexistences,sonesp ´ erance et sa variance. 3.Onrevientaucasg ´ ene ´ ralou ` ,pourtoutiomni ´ sgeal ` a2,uap i estunr ´ edtneee ´ leme ´ l]0,1[. On pose pour toutnlaa `´ sgeomni2:ua n β n =p i ∏ i=2 n Exprimer, pournniomua2, ` aalegs ´ P(D)en fonction de). E ∑ k=2 k la suite(β k k ≥2 ´ endirduueeq S n≥2 D n se ´ nute ´ veemenstues1eitniselemprobntdeit ´ eabilβ n tend vers 0 lorsquentend vers l’infini. Lorsquecetteconditionestv ´ erifi ´ eeonde ´ finiraTcquestionomme ` alap,aresopnote.b.2rou n≥2 : u n =β n −β n+1 3