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Deuxième composition de Mathématiques 2006 Classe Prepa MP Ecole Polytechnique

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Examen du Supérieur Ecole Polytechnique. Sujet de Deuxième composition de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Deuxième composition de Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D’ADMISSION 2006
MP FILIÈRE
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
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Matrices réelles de partie symétrique positive
n Dans tout le problème, l’espace vectorielRsera muni du produit scalaire usuel noté(.|.)et de la norme correspondantek.k. On noteraMn(R)l’espace vectoriel des matrices ànlignes et ncolonnes, à coefficients réels, etIla matrice identité; on muniraMn(R)de la norme usuelle : ® ´ kAxk kAk= sup, x6= 0. kxk n Une matriceAdeMn(R)sera ditespositivesi l’on a(Ax|x)>0pour toutxdeR.
Première partie
1.Montrer que toute matriceAdeMn(R)s’écrit de façon unique comme somme d’une matrice symétriqueAset d’une matrice antisymétriqueAa.
2.SoitAune matrice deMn(R). Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur les valeurs propres deAs, pour queAsoitspositive.
Deuxième partie
3.Montrer que, pour toute matricespositiveAet tout nombre réelλ >0, la matriceλI+A est inversible.
1 On posera alorsRλ(A) = (λI+A).
4.(Étude d’exemples) On examinera les deux exemples suivants : Ç å 0 1 a)n= 2, A=. 1 0
1
Ö è 0 01 b)n= 3, A0 0= 0. 1 0 0 Pour chacun de ces exemples : calculer KerA, ImA,Rλ(A), dire siRλ(A)(resp.λRλ(A)) admet une limite lorsqueλ0et, si oui, donner cette limite.
Dans la suite de cette deuxième partie on se donne une matricespositiveAet un réelλ >0.
5.Démontrer les assertions suivantes :
5.a)ARλ(A) =Rλ(A)A=IλRλ(A). 5.b)Pour tout réelµ >0, on a Rλ(A)Rµ(A) = (µλ)Rλ(A)Rµ(A). 1 6.Démontrer l’inégalitékRλ(A)k6, avec égalité si et seulement sidetAest nul. λ 7.Démontrer les assertions suivantes :
7.a)Pour toutxImA,λRλ(A)x0lorsqueλ0.
n 7.b)L’espaceRest somme directe de KerAet ImA.
7.c)Lorsqueλtend vers 0,λRλ(A)tend vers le projecteur sur KerAparallèlement à ImA.
8.Montrer que l’applicationΦ :λ7→Rλ(A)de]0,+[dansMn(R)est indéfiniment déri (p)q q vable, et exprimer ses dérivées successivesΦen fonction de ses puissancesΦ :λ7→Φ(λ).
Troisième partie
Dans cette troisième partie on se donne une applicationFde]0,+[dansMn(R)possédant les propriétés suivantes : 1 (i)λ >0,kF(λ)k6; λ (ii)λ ,µ >0, F(λ)F(µ) = (µλ)F(λ)F(µ); (iii)F(1)est inversible. 9.Montrer queF(λ)est inversible pour toutλ >0.
11 10.a)CalculerF(λ)F(µ).
1 10.b)Montrer que, lorsqueλ0,F(λ)admet une limiteAet que l’on a, pour toutλ >0, 1 λI+A=F(λ).
11.Montrer que les matricesAF(λ)etAsontspositives.
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Quatrième partie
Étant donné une matriceAdeMn(R), on pourra admettre les résultats suivants : +k X A (i) Lasérie estconvergente. NotonsexpAsa somme. k! k=0 (ii) Lafonction de variable réellet7→exp(tA)est dérivable et sa dérivée est donnée par d exp(tA) =Aexp(tA). dt
12.SoitAune matrice deMn(R). Démontrer l’équivalence des conditions suivantes : (i) pourtoutt>0, on akexp(tA)k61; n2 (ii) pourtoutxR, la fonctiont7→ kexp(tA)xkest décroissante; (iii)Aestspositive.
On fixe maintenant une matriceA spositive et un réelλ >0.
13.Démontrer la convergence des intégrales Z +λt ρ(λ)i,j=e(exp(tA))i,jdt ,16i, j6n . 0 On noteρ(λ)la matrice de coefficientsρ(λ)i,j.
14.Comparerρ(λ)etRλ(A). [On pourra calculer d’abord(λ) +λρ(λ).]
15.On considère le premier exemple de la question4. Calculerexp(tA), puisρ(λ). Retrouver la valeur deRλ(A)obtenue à la question4.
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