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Diffusion de la lumière par des ondes de surface OEM réseaux ondes mécaniques tension superficielle

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8 pages
Niveau: Secondaire, Lycée
PHYSIQUE II Concours Centrale-Supélec 2000 1/8 PHYSIQUE II Filière PC Diffusion de la lumière par des ondes de surface Le problème comporte des questions non calculatoires, pour lesquelles le candi- dat s'efforcera de répondre avec concision : quelques mots suffisent en général. Les parties I - , II - et III - sont largement indépendantes, mais il est recom- mandé d'aborder la partie I - en premier. On éclaire avec un faisceau laser élargi de longueur d'onde toute la sur- face libre d'un liquide contenu dans un bac horizontal sous incidence , avec (cf. figure 1). Les propriétés de la lumière récupérée loin de l'interface dans une direction d'angle , avec , sont liées à la propagation d'ondes dans le liquide, engendrées spontanément par l'agi- tation thermique. Ces ondes mettent en jeu des forces de tension superficielle qui font intervenir une constante caracté- ristique du liquide appelée coefficient de tension superficielle : aucune connais- sance sur la tension superficielle n'est nécessaire pour traiter le problème. Sauf en II.F, on néglige la viscosité. Pour toutes les applications numériques sauf cel- les de la question II.E.3, on supposera que le liquide est de l'eau de masse volu- mique et de coefficient de tension superficielle . On donne en outre quelques constantes fondamentales : ; ; ; .

  • traits d'indices impairs

  • face libre

  • i?

  • amplitude complexe instantanée

  • onde

  • coefficient de tension superficielle

  • épaisseur de l'ordre

  • ième trait


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bac
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Diffusion de la lumière par des ondes de surface
Le problème comporte des questions non calculatoires, pour lesquelles le candi-dat s’efforcera de répondre avec concision : quelques mots suffisent en général. Les parties I - , II - et III - sont largement indépendantes, mais il est recom-mandé d’aborder la partie I - en premier. On éclaire avec un faisceau laser élargi dedétecteur longueur d’onde= 0,638µmtoute la sur-0 face libre d’un liquide contenu dans un bac + >  <0 <0i0 horizontal sous incidence , avec ez –90°  0(cf. figure 1). Les propriétés de la lumière récupérée loin de l’interface dansL O y i>0 0i90°ex une direction d’angle , avec , sont liées à la propagation d’ondes dans le L Figure 1 liquide, engendrées spontanément par l’agi-tation thermique. Ces ondes mettent en jeu des forces detension superficiellequi font intervenir une constanteAcaracté-ristique du liquide appelée coefficient de tension superficielle : aucune connais-sance sur la tension superficielle n’est nécessaire pour traiter le problème. Sauf en II.F, on néglige la viscosité. Pour toutes les applications numériques sauf cel-les de la question II.E.3, on supposera que le liquide est de l’eau de masse volu-3 –3 –2 miqueµkg= 10 met de coefficient de tension superficielleA= 710 Pam. –1 –1 On donne en outre quelques constantes fondamentales :R= 8,314 JKmol; 23 –1 –23 –1 8 –1 N= 6,0210 mol;k= 1,3810 JK;c 310 ms. Le milieu a B ambiant est de l’air, dont on prend l’indice optique égal à1.
Partie I - Préliminaires : quelques ordres de grandeurs
I.A -À un instant donné, du fait de fluctuations thermiques, la surface libre pos-sède de petites « aspérités » et on prend pour premier modèle une surface dont la cote prise par rapport à une originez= 0vaut : 2–5 h(x)=hcos(Kx)avecK=-et 410 m. M 
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Expliquer qualitativement pourquoi on peut alors récupérer de la lumière dans des directionsi. I.B -On suppose que l’essentiel du mouvement dans le liquide est localisé sur une épaisseur de l’ordre de au voisinage de l’interface (hypothèse(H)). D’autre part, on admet que les forces de tension superficielle exercées sur une interface d’aireS entre le fluide et l’air dérivent d’une énergie potentielle E=AS où la constanteAle coefficient de tension superficielle. En éva- est p luant numériquement un rapport d’énergies, montrer que la pesanteur joue un rôle négligeable devant la tension superficielle. Dans toute la suite, on néglige donc la pesanteur. I.C -En réalité l’interface est en mouvement. Si on néglige la viscosité, la sur-face libre a pour cote : 2–5 h(x,t)=hcos(tKx)avecK=-et 410 m. M  La relation de dispersion de ces ondes s’écrit : 2  2 =AµKavecK=-.  Déterminer les constantes, etanalyse dimensionnelle. Calculer la par –5 pulsationet la périodeTpour 410 m. I.D -La cuve est limitée au domaine0xLet0yLavecL= 1 cmpar des parois verticales rigides. Plutôt que l’onde proposée en I.C) on considère pour toute la suite du problème une onde décrite par le profil h(x,t)=hsin(t)cos(Kx)à un potentiel des vitesses associée (M,t) et un M champ des vitessesv(M,t)tels que : h M v(M,t)=grad(x,z,t)avec(x,z,t)=-f(z)cos(t)cos(Kx) K f(z)est une fonction dez, sans dimension, de l’ordre de1dans le domaine  <z<0et négligeable pourz<. On admet que la relation de dispersion est inchangée. I.D.1) Quelles sont les conditions aux limites imposées par les bords du récipient ? En déduire les valeurs convenables deK en fonction deL et d’un entierm.
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I.D.2) Représenter sur une même figure l’allure de la surface libre aux ins-tantst=T4 ett= 3T4 pourm= 1. Même question pourm= 2. Indiquer une des propriétés qui distinguent ces ondes de celles de la question I.C). I.D.3) Exprimer l’ordre de grandeur littéral de l’énergie cinétiqueE du c liquide en fonction deµ,h,L,et. Des considérations de physique statis-M tique qui dépassent le cadre de ce problème montrent queEest de l’ordre de c l’énergie cinétique d’un atome de gaz parfait monoatomique en équilibre à la températureT. En déduire la valeur numérique deh pour la température M ambiante. * I.D.4) Rappeler l’ordre de grandeur du libre parcours moyenlun dans * liquide. La valeur très faible dehlpourrait susciter quelques inquiétudes M quant à la validité du modèle du fluide continu, mais l’expérience conforte ce * modèle, montrant ainsi que le rapporthlest hors-jeu. À quelle autre gran-M * deur proposez-vous de comparerlpour valider le modèle du fluide continu ?
Partie II - Étude expérimentale des ondes de surface
L’étude de la lumière diffusée par une interface liquide-air permet de mesurer le coefficient de tension superficielle et la viscosité du liquide. Pour rendre compte de la diffusion de la lumière par la surface libre du liquide, on adopte le modèle suivant : • La surface est assimilée à un réseau par réflexion, dont les traits infiniment fins selonuet de longueurL= 1 cmselonusont centrés sur les pointsA x y n de coordonnées : nn x=-;y= 0;z(t)=(–1)hsin(t)avecnentier. n n n M 2 • Les traits sont éclairés par une onde plane d’éclairementE, de longueur 0 d’onde= 0,638µmde pulsation, et de vecteur d’onde 0 0 k= –ksinukcosu. 0 0x0z • On récupère la lumière diffractée à l’infini dans la direction d’angleià l’aide d’un photodétecteur. • On fixe une phase de référenceau niveau du détecteur pour l’onde de réfé-0 rence qui serait diffractée par un trait fictif, confondu avec l’axeOy. • Le n-ième trait diffracte une onde dont l’amplitude complexe sur le détecteur est de la forme :a(t)=Eexp(jtjjk ) 0,1est un nombre n0 0 0n
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sans dimension,kle nombre d’onde etest la différence de marche entre n l’onde(n)et l’onde de référence définie plus haut.
II.A -Interpréter la position des traits en liaison avec la question I.D.2). Éva-–5 luer le nombreNde traits du réseau pourLcm= 1 et= 410 m. Comparer avec les réseaux usuels utilisés en travaux pratiques. On supposeraNpair dans la suite.
II.B -On suppose tout d’abord queh= 0. Dans ces conditions la lumière dif-M fractée a même pulsationque l’onde incidente et donck=k= 2 . 0 0 0 II.B.1) Établir l’expression de=en fonction de,iet. n n– 1 II.B.2) Dans la suite, le détecteur est placé dans une direction d’observation  i, choisie de telle sorte que :  0  sini+ sin= –-.  Combien vaudraient alorsl’éclairement reçu par le détecteur si on avait et réellementh= 0? M    II.B.3) Déterminer l’écart angulairei=i=i+, supposé petit, entre  l’onde réfléchie dans la directioni= –et l’onde diffractée dans la directioni, en fonction de,et. Le détecteur a une ouverture angulaire égale à5°. 0 Comment faut-il choisirpour ne récupérer que la lumière diffractée ? II.C -On suppose désormais queh0on admet qu’on peut prendre et M k=k= 2  pour le vecteur d’onde de la lumière diffractée avec une très 0 0 bonne approximation. II.C.1) Faire apparaître la différence de marche (t)des traits d’indice pair 2p   sur une figure. On posek=kcosi u+ksini u. Montrer que : 0z0x k (t)=(kk) OA2p. 0 2p0 Expliciter (t)en fonction dep,,,h,,ten tenant compte du fait que 2p0M   cosi cos etsini+ sin= – .En déduire l’amplitude complexe instanta-0  née totale diffractée par les traits d’indices pairs, notéea(i,t), en fonction pair deL,,E,,,h,,k,,ett. 0M0 0 0 II.C.2) Évaluer de même l’amplitude complexe instantanée totale diffractée  par les traits d’indices impairs, notéea(i,t). impair II.C.3) En déduire que l’amplitude complexe instantanée totale diffractée  dans la directionivaut : 2LE 0    a(i,t)=-sin(4kcoshsin(t))exp(jtj+j 2) 0M0 0     où on rappelle que l’angleiest déterminé par le choix de(cf. II.B.2).
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PHYSIQUE II Filière PC –6  II.C.4) Sachant queh 10, donner l’expression dea(i,t)à l’ordre un M0  enh. Montrer quea(i,t) est la somme de deux ondes sinusoïdales M0 et déterminer leurs pulsations en fonction deet. Quelle erreur relative sur ka-t-on commise en prenantk=k= 2 pour ces deux ondes ? 0 0 II.C.5) Comment évolue l’amplitude de l’onde diffractée lorsqueaugmente. Montrer qu’il faut trouver un compromis sur la valeur dedu fait de la conclu-sion de la question II.B.3). 2  II.D -Le photodétecteur utilisé délivre une tensionV(t)= <a(i,t)>propor-tionnelle à la valeur moyenne du carré de l’amplitude réelle instantanéea(t), la moyenne étant calculée sur une durée de l’ordre de dix nanosecondes. D’autre part, comme l’éclairement diffracté est trop faible pour être détecté directement,  on lui superpose une onde plane de référence se propageant dans la directioni, engendrée à partir du laser-source par un dispositif qui ne sera pas étudié et d’amplitude complexe sur le détecteur : a(t)=Eexp(jt+j 2 –j ) ref ref0 0 h M II.D.1) Montrer que la tension obtenue est, au premier ordre en-, de la  0 forme : h M V(t) a+b-sin(t)  0 aetbsont deux constantes, dont on ne demande pas d’expliciter les expres-sions. II.D.2) Proposer un circuit électrique passif simple permettant de récupérer à partir deV(t)tension une u(t) proportionnelle àhsin(t) en précisant la M 5 –1 valeur numérique des composants choisis pour 10 rads. II.D.3) Indiquer brièvement pourquoi l’utilisation d’une onde de référence rend détectable le signal qui ne l’était pas sans elle. II.D.4) En réalité on atténue l’onde de référence ; interpréter sommairement. Pour cela, on interpose un polariseur sur le trajet du faisceau de référence ; inte-rpréter sommairement, sachant que le laser émet une onde polarisée rectiligne-ment.
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II.E -En réalité tous les n= –2 modes possibles associés auxréseau de pasa n= –1 valeurs deKde (ou ) possi-+(R)détecteur mobile bles coexistent : la surface du  i liquide présente des n= 1 k « aspérités » correspondant à n= 2 la superposition de tous ces modes. L’expérience permet Figure 2 d’accéder à la relation de dis-persion (K): pour cela un fréquencemètre mesure la fréquenceFdeu(t); par ailleurs il faut faire varier Ket le mesurer. Pour cela on envisage le montage de la figure 2 : on place un réseau plan(R), de pasaconnu, orthogonalement à la directioni= –; l’onde de référence qui arrive sur ce réseau sous incidence normale donne naissance à des taches de diffraction d’ordrendans des directionsi. n II.E.1) En utilisant sans démonstration la formule des réseaux plans par transmission, exprimer l’anglei=i+=i, supposé faible, en fonction n n n den,eta. 0 II.E.2) On place le détecteur log successivement dans les direc-7 tionsi. On admet que ce réseau n est sans effet sur la lumière dif-fractée par la surface du liquide, ce qui revient pour cette lumière à supposer que le réseau travaille dans l’ordre zéro. En exploitant 6  l’expression deien établie II.B.3), montrer qu’on fait pren-dre ainsi à une séquence de valeurs connues qu’on détermi-nera en fonction den,eta. 5 II.E.3) Le graphe de la figure 3 logK 5Figure 36 donnelog en fonction delogK –1 –1 avec enrads etK enm pour une expérience où le liquide est de l’éthanol de masse volumique 3 –3 µ= 0,7910 kgm. Vérifier la compatibilité des résultats avec la relation de dispersion établie en I.C) et déterminer la valeur numérique deA.
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II.F -La figure 4 où l’unité de temps est la milliseconde donne le graphe deu(t) u(0)pour une expérience où le liquide est de l’eau. Qu’observe-t-on qui n’est pas prévu par le modèle adopté jusqu’ici ? Montrer qu’on peut en rendre compte sommaire-ment en évaluant une durée caractéristique de la diffusion de quantité de mouvement en fonction dede la viscosité et cinématiquede l’eau. Déduire du graphe un ordre de grandeur de.
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u(t) u(0)en fonction de ten millisecondes
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Figure 4
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Partie III - Étude théorique des ondes de surface
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On décrit le mouvement de l’interface par sa coteh(x,t)le mouvement du et liquide par le champ des vitessesv(M,t)tels que : h(x,t)=hsin(t)cos(Kx); M
v(M,t)=grad(x,z,t); h M (x,z,t)=-f(z)cos(t)cos(Kx). K Le champ de pression est uniforme égal àp dans il est de la formel’air ; 0 p(x,z,t)le liquide. Le récipient est suffisamment profond pour qu’on dans puisse le supposer infini, de telle sorte que le liquide occupe au repos le demi-espacez0. Les champsh(x,t),(x,z,t)et leurs dérivées partielles sont traités comme des infiniment petits de même ordre et on se limite à l’ordre1en ces infi-niment petits. III.A -On suppose l’écoulement incompressible. III.A.1) Déterminer l’équation aux dérivées partielles dont est solution.
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III.A.2) En déduire quef(z)solution d’une équation différentielle est homogène du deuxième ordre à coefficients constants. Déterminerf(z) à une constante multiplicative près. III.A.3) Justifier l’hypothèse(H)de la question I.B). III.B -III.B.1) Justifier brièvement la condition aux limites à la surface libre de cote h(x,t): h -=-zt III.B.2) En admettant qu’on peut évaluerzenz= 0au lieu dez=h(x,t), en déduire l’expression def(z)en fonction deKetz.
III.C -Les forces de tension superficielles ne s’exercent qu’à la surface du liquide. En utilisant l’équation d’Euler au sein du liquide et en négligeant la pesanteur (cf. I.B), montrer que la fonction  p+µ-=C(t) t ne dépend pas du pointM. Dans toute la suite, on admet queC(t)=p. 0 III.D -Soit un élément de l’interface liquide-air compris entrexetx+dxde lar-geurds dxdans le planxOzet de profondeurdyselonu. On admet qu’outre y les forces de pression, cet élément subit des forces de tension superficielle : d F= –Adyt(x)etd F=Adyt(x+dx) x x+dx Aest le coefficient de tension superfi-élément de surface cielle supposé constant etttangente la orientée au profilz=h(x,t)(cf. figure 5). z On limite les calculs à l’ordre un endxet d F x+dx à l’ordre un enh. M d F x III.D.1) Établir l’expression depp à 0 Figure 5 2 2 l’interface en fonction deAeth x. y x III.D.2) En admettant qu’on peut écrire x x+dx la relation de la question précédente en z= 0au lieu dez=h(x,t), en déduire la relation de dispersion, liantK,,µ etA. Vérifier la cohérence avec les résultats de I.C) et II.E.3).
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