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E3A 1999 mathematiques a classe prepa psi

4 pages
3CA1 Concours ENSAM - ESTP - ENSAIS - ECRIN - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 1 durée 4 heures Les deuxième, troisième et quatrième parties sont liées et peuvent être traitées indépendamment de la première partie. Notations : Dans tout le problème n, et k sont deux entiers naturels donnés de somme N. La fonction h de R dans R est définie par h(z) = zn+lc+’. Soient f et g deux fonctions à valeurs réelles définies sur un intervalle 1 de R contenant O ; la fonction f est dominée par la fonction g au voisinage de O signifie qu’il existe deux réels strictement positifs M et a tels que : vx E In] - a, +a[ , I f(x) 15 l s(4 1. Rn[X] (resp R,[X]) désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à n (resp k). Fn,k est l’ensemble des fractions rationnelles défini par: Les coefficients de p ( resp q) seront notés {ao, al, ...., a,} ( resp {bo, bl, b2, ..&} OÙ bo # O) i Première Partie : Dans cette partie bo = 1. Soit f une fonction à valeurs réelles, égale à la somme de la 00 série entière ccizz , de rayon de convergence p strictement positif. i=O Il s’agit de rechercher un élément u de Fn,k tel que la fonction (f - u) soit dominée par la fonction h au voisinage de O. La fonction u étant égale au quotient des deux polynômes p et q, la question consiste à déterminer, à partir des ci, les coefficients {ao, al, ...., an} de p et les coefficients {bl, bz, ... bk} de q de sorte que : Vj E {O, 1, ..., N} , f‘”(0) = ...
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