E3A 2001 mathematiques a classe prepa psi

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85CA 1. 4996 Concours ENSAM - ESTP - ENSAIS - ECRIN - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 1 durée 4 heures On désigne par Rie corps des réels et par INl’ensemble des entiers naturels. a et b désignent deux réels tels que a < b. On pose Q =[ a, b] 2c JR2 . On désigne par c( [a,b] JR) l’ensemble des fonctions continues définies sur [ a, b] , à valeurs réelles. On par @2, R) des fonctions continues définies sur Q , à valeurs réelles . On admet que tout élement K de C(C$ IR) est borné sur Q. Pour toute fonction f; élément de C([a,b], IR) , on note IlfIl = ( ~~(j(r))2~~)‘. Première nartie I-l Soit K E C(C& lR) on note I~lK~~~ = (JJJK(x,~))~LZXC@)~. Montrer que l’application de C(Q IR) dans @qui à K associe IIIKII~ est une norme. I-3 Soient K E C(C& IR) et & c( [a, b] JR) , on pose g(y)=lIK(x,y) f(x) dx . ~onber que g E (‘2 [a > 4 JR) et que llglls IiIKl[ IlfIl . Dans toute la suite du problème on choisit a = 0 , b = 1 et on suppose que K E C(C’& lR) vérifie : vy>x qx, y) = 0 . Soitfun élément donné de c([O,l], IR) et soit (x , y ) un élément fixé de R . 1 Tournez la page S.V.P. Deuxième wrtie II-1 On pose K,(x,y)=K(x,y) et par récurrence pour n entier naturel strictement positif K,+1 kY)=[~W K,(Z>Y) a!z. Montrer que l’on a : K,E C(QlR)et K,(x,y)=O poury>x. II-2 Soit n un entier naturel strictement positif, montrer que : Vr E (1;.-,n) , K*+,kY)c~K, (x,4 Kn+&,Y) dz * II-3 On pose Qr (x) = f(x) + % K(x,,t) f(t) dt et par récurrence an+, (4 = f(x) + %K(x ...

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• Publié par: aiolos
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