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E3A 2003 mathematiques b classe prepa psi

4 pages
J. 5048 G23L concours CONCOURS ENSAM - ESTP - ENSAIS - ECRIN - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques B durée 4 heures L'usage de calculatrices est interdit Exercice 1 R désigne l'ensemble des nombres réels et n est un entier naturel non nul. Dans tout l'exercice, (a,) est une suite d'Cléments non nuls de R. On lui associe la suite n ( p, ) définie par : p, = n ak . Lorsque ( p, converge, on note p sa limite. k=l Lorsque (p,) diverge vers + CO (respectivement vers - CO), on dit que (p,) admet + CO (respectivement vers - CO) pour limite. Première partie 1 O Donner un exemple de suite (a,), telle que (p,) converge vers p = O . 2" Prouver que, si (p,) converge versp différent de O, alors (a,) converge vers 1. 3" On suppose dans cette question qu'il existe un entier naturel no tel que : a, > O , pour n > no . n On pose, pour n supérieur à no, q, = nak . k=no +1 a) Pour n supérieur à no , exprimer q, en fonction de p, et de p,, . b) Montrer que, si la série xln(a,) converge, alors la suite (p,) converge et quep est non nul. c) On suppose que la suite des sommes partielles de la série xln(a,) diverge vers + CO ou - CO. Préciser dans chacun de ces deux cas la limite de la suite (p,) . Dans ce qui suit, on définit u, par : a, = 1 + u, . Tournez la page S.V.P. 4" On suppose dans cette question que, pour tout n, on a : un 2 O. Démontrer que la suite (p,) converge vers p > O si et seulement si la série Cu, converge. 5" On suppose dans cette question que ...
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