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E3A mathematiques 3 1999 pc classe prepa pc

3 pages
concours ESTP-ENSAM-ECRIN-ARCHIMEDEEpreuve de MATHEMATIQUES 3Filiere PCduree 4 heuresLes deux problemes sont independants.Probleme A2Si (p; q)2 (N ) ; M (R) designe le R espace vectoriel des matrices a p lignes et q colonnes, a coe cien tsp;qreels etM (R) =M (R) :p p;pUn element deM (R) est note (a ) ; 1 i p ; 1 j q:p;q i;jpUn vecteur de R ; rapporte a sa base canonique, et sa matrice dansM (R) sont notes par la m^eme lettre.p;1Si N est une norme surM (R) ; la suite (A ) ; ou n2 N ; d’elements deM (R) admet une limite B dansp;q n p;qnM (R) si et seulement si la suite reelle (N (A B)) a pour limite 0p;q n nOn note :lim A = B , lim N (A B) = 0n nn!+1 n!+1Les coe cien ts de la matrice limite B sont les limites des coe cien ts de la matrice A :nPartie I+On admettra que l’application, noteekk ; deM (R) dans R de nie par :p;qqX8A2M (R) ; kAk = max ja jp;q i;j1ipj=1est une norme surM (R) ; adoptee dans la suite du probleme et telle que ,8r2 N ( avec un abus d’ecriturep;qevident ) :8A2M (R) ; 8B2M (R) ; kABkkAkkBkp;q q;r1) Si A2M (R) , on note ( ) les valeurs propres de A dans C ; et (A) = max jj :p i i1ip1ipMontrer que : k k 8i2 [1; p] ; 8k2 N ; jj AiNEn deduire que si A est diagonalisable alors :klim A = 0 , (A) < 1k!+1( 0 designe la matrice nulle deM (R) )p2) A2M (R) ; b2M (R) ; A inversible.p p;1On considere une methode de resolution approchee de l’equation Ax = b , ou b est donne ...
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concours ESTP-ENSAM-ECRIN-ARCHIMEDE Epreuve de MATHEMATIQUES 3 Filie`rePC dur´ee4heures
Lesdeuxprobl`emessontinde´pendants.
Proble`meA
2 Si (p, q)(N),Mp,q(Rgnele)d´esiRirotedlecapsceveas`eatsmceriplignes etq,sa`noenclotsciencoere´elsetMp(R) =Mp,p(R). Un´ele´mentdeMp,q(R)tnes´eot(ai,j),1ip ,1jq. p Un vecteur deR ,snadecie,quninotrmasaetoptre´a`asabesacrapMp,1(Rtteremelos).t´esntnoamˆeparl SiNest une norme surMp,q(R),la suite (An),ou`nN ,e´´lmenetsdedMp,q(R) admet une limiteBdans n Mp,q(Rmeleeutsie)sle(e´letirealustnisN(AnB)) apour limite 0 n On note : limAn=BlimN(AnB) = 0 n+n+Les coefficients de la matrice limiteBsont les limites des coefficients de la matriceAn. Partie I + Onadmettraquelapplication,not´eekk,deMp,q(R) dansRe´dr:paien q X A∈ Mp,q(R),kAk= max|ai,j| 1ip j=1 est une norme surMp,q(R),nsdasulaopadeet´euqellet,roupeditetme`eblrNutera(nabuvecuecrisd´ e´vident): A∈ Mp,q(R),B∈ Mq,r(R),kABk ≤ kAk kBk 1) SiA∈ Mp(R) , on note (λi) lesvaleurs propres deAdansC ,etρ(A) = max|λi|. 1ip 1ip Montrer que : k k   i[1, p],kN ,|λi| ≤A N End´eduirequesiAest diagonalisable alors : k limA= 0ρ(A)<1 k+(0d´esignelamatricenulledeMp(R) ) 2)A∈ Mp(R), b∈ Mp,1(R), Ainversible. Onconside`reuneme´thodeder´esolutionapproche´edele´quationAx=b,`oubonn´eetsedtxest l’inconnue. On de´composelamatriceAsous la formeA=MNo,u`MetNedstnemesont´el´deuxMp(R) , avecMinversible 1 etM Ndiagonalisable. 11 Le´quationAx=but`a´equivax=M Nx+M b.   (n) Onde´nitunesuited´ele´mentsdeMp,1(R), xo`u,nNpar : n (0) (n+1)1 (n)1 x∈ Mp,1(R) etnN , x=M Nx+M b (n) (0) a) Exprimerxen fonction deM, N, xet de la solutionxnioatque´ledAx=b.   (n) b)Donneruneconditionn´ecessaireetsusantepourquelasuitexconverge versx. n Partie II On donne la matriceA∈ Mp(R).   21 0. . . .0 1 21 0. . . . 01 2. . . . . .0. .1. . . A= . . .1 2. . . . . . . . .1 0     . . . . .1 21 0 0. . .01 2
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