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EA 2002 premiere epreuve classe prepa mp

4 pages
Année 2002 CONCOURS D’ADMISSION A L’ECOLE DE L’AIR CONCOURS MP Durée : 4 heures Coefficient : 13 L’attention des candidats est attirée sur le fait Que la notation tiendra compte du soin et de la Rigueur apportés dans le travail. Nota : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ‘il a été amené à prendre. T.S.V.P. +* f(t, Le but de ce problème est d’étudier des applications du type g: z /- t z tdt s 0 où,f est une fonction possédant certaines propriétés et z est élément de aIlK. On notera n l’ouvert c\lK. On rappelle que l’espace des fonctions continues et intégrables sur IR: à valeurs réelles est un espace vectoriel normé noté L,@:,IR). On rappelle aussi que, étant donné une fonctionfà valeurs réelles ou complexes continue par morceaux sur un intervalle [a, h[, il peut arriver quefne soit pas intégrable sur cet intervalle mais que la fonction x i- jax f(t)dt admette une limite au point h. Cette limite est encore notée x I-++ s,” .fW- 1 Etude de quelques cas particuliers 1. Soitf la fonction définie sur JR+ par.f(t) = -$. d- i-i+j sdt existe bien. (a) Montrer que Ii z E KI, g(z) = s 0 ’ 2 dt. (b) Montrer que ‘v’ z E !A, g(z) = o f t(z-I)t2 s (c) Montrer que g est développable en série entière au voisinage de 1. Quel est le rayon de convergence de cette série entière? (d) Pour les valeurs de z ...
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