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Les trois parties de ce problème sont très largement indépendantes et peuvent se traiter dans un ordre indifférent.
Partie A
3 3 Rest rapporté à sa base canoniqueB= (e1, e2, e3)considère l’endomorphisme. OnudeR défini par sa matriceArelativement à la baseB,où la matriceAest donnée par:   815   A=2 31 411 A 1Démontrer que les réels2et4sont deux valeurs propres deuet déterminer une base des deux sous espaces propres correspondants .
03 A 2Démontrer qu’il existe une baseBdeRtelle que l’endomorphismeuadmette relativement   4 3 0   0 0 à la baseBla matriceA4 0= 0. Onchoisira les coordonnées des vecteurs de cette 0 0 2 nouvelle base parmi1,0,1
n A 3SoitnN.DéterminerAen fonction den. 1 A 4x, y, zdésignant trois fonctions réelles de classeC, déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle suivante: 0 x(t) = 8x(t)y(t)5z(t) 0 tR, y(t) =2x(t) + 3y(t) +z(t) 0 z(t) = 4x(t)y(t)z(t)
Partie B
2 B 1Déterminer les fonctions de classeCsurRà valeurs dansRtelles que 00 0 tR, f(t) +f(t) +f(t) = 0(1) (les solutions ne doivent donc pas s’exprimer à l’aide de nombres complexes ) B 2Montrer que l’ensembleFdes solutions de(1)forme unRespace vectoriel dont on précisera une base(ϕ,ϕ). 1 2 Donner l’allure du graphe d’une solution non nulle de(1)
0 B 3Montrer que l’applicationD:f7fest un endomorphisme deF. 3 Cet endomorphismeDest il diagonalisable? DéterminerD . B 4SoitaRnote. OnTal’application définie par : fF,xR, Ta(f)(x) =f(x+a) Montrer queTaest un endomorphisme deF. Pourquelles valeurs du réelal’endomorphismeTa est il diagonalisable? Quelle propriété du graphe deftracé auB2peut on en déduire?
B 5Déterminer l’ensemble des couples(λ, a)R×Rtels queD=λTa