Ecricome 1999 mathematiques classe prepa hec (s)

Description

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Extrait

ECRICOME 1999 S

Lundi 3 mai 1999 de 8h00 `a 12h00

L’´enonc´e comporte 5 pages.

Exercice 1

Soit

la fonction r´eelle d´efinie sur

par :

o`u

est un entier naturel sup´erieur ou ´egal `

a

1

.

On se propose de d´eterminer les extremums ´eventuels de cette fonction dans les deux cas particuliers

, puis

.

.1.

a) Justifier que

, est une fonction de classe

sur

.

b) Calculer les d´eriv´ees partielles du premier ordre de

.

.2.

On se place dans le cas

.

a) Montrer qu’il n’existe qu’un seul point

de

v´erifiant les conditions n´ecessaires

d’existence d’un extremum.

b) Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre

de la fonction

et montrer que le point

est bien un extremum dont on pr´ecisera la nature.

.3.

On se place dans le cas

.

a) Montrer qu’il existe une infinit´e de points en lesquels le gradient de

s’annule.

b) Montrer qu’en ces points la fonction

admet un minimum.

Exercice 2

.1. Soit la matrice

a) Montrer que les valeurs propres de

sont

et

et d´eterminer les sous-espaces propres

associ´es.

b)

est-elle diagonalisable ?

On se propose de calculer

pour tout entier naturel

.

.2. Soit

et

deux matrices r´eelles carr´ees d’ordre

´ecrites sous forme de blocs:

avec

avec

V´erifier que le produit

s’´ecrit sous forme de blocs :

o`u

.

1