Ecricome 2002 mathematiques classe prepa hec (eco)

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ECRICOMECONCOURS D’ADMISSION 2002option ´economique´MATHEMATIQUESmercredi 22 mai 2002, de 8h a` 12h.dur´ee : 4 heuresAucun instrument de calcul n’est autoris´e.Aucun document n’est autoris´e.Les candidats sont invit´es a` soigner la pr´esentation de leur copie, a` mettre en´evidence les principauxr´esultats, a` respecter les notations de l’´enonc´e, et a` donner des d´emonstrations compl`etes (maisbr`eves) de leurs affirmations.1 EXERCICEDans l’ensemble M (R) des matrices carr´ees d’ordre 3 `a coefficients r´eels, on consid`ere le sous-ensemble E des3matrices M(a,b) d´efinies par : b a b M(a,b) = a b b .b b aAinsi : E = M(a,b) a,b∈R .3On note f l’endomorphisme deR repr´esent´e par la matrice M(a,b) dans la base canonique B = (e ,e ,e )a,b 1 2 33deR .1.1 Structure de E.1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M (R).32. Donner une base de E, ainsi que sa dimension.´1.2 Etude d’un cas particulier.On pose A =M(1,0).2 −11. Calculer A . En d´eduire que A est une matrice inversible et exprimer A en fonction de A.2. D´eterminer les valeurs propres de A.33. Trouver une base deR dans laquelle la matrice de f est :1,0 1 0 0 0 1 0 .0 0 −11.3 Diagonalisation des ´el´ements de E et application.3On consid`ere les vecteurs deR suivants :~u = (1,1,1), ~v = (1,−1,0), w~ = (1,1,−2).1. Justifier que les matrices de l’ensemble E sont diagonalisables.32. Montrer que C = (~u,~v,w~) est une base deR .1´3. On note P la matrice de passage de la ...

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ECRICOME

CONCOURS D’ADMISSION 2002

option´economique

´ MATHEMATIQUES

mercredi22mai2002,de8h`a12h. dure´e:4heures

Aucuninstrumentdecalculn’estautorise´. Aucundocumentn’estautorise´. Lescandidatssontinvite´sa`soignerlapr´esentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdel’´enonc´e,eta`donnerdesd´emonstrationscompl`etes(mais bre`ves)deleursaffirmations.

1 EXERCICE Dans l’ensembleM 3 (Rmaesictr)dcientsr´e3`acoeffise’drordseacrre´lembseens-oueselre`disnocno,sleeEdes matricesM(a, br:espaefini)d´   b a b   M(a, b) = a b b . b b a Ainsi :   E=M(a, b)a, b∈R. 3 On notef a,b l’endomorphisme deRrepr´esente´aplrmatairecM(a, b) dans la base canoniqueB= (e 1 , e 2 , e 3 ) 3 deR.

1.1 StructuredeE. 1. MontrerqueEest un sous-espace vectoriel deM 3 (R). 2. Donnerune base deE, ainsi que sa dimension. ´ 1.2 Etuded’un cas particulier. On poseA=M(1,0). 2−1 1. CalculerA.Endeuireq´eduAest une matrice inversible et exprimerAen fonction deA. 2.D´eterminerlesvaleurspropresdeA. 3 3. Trouverune base deRdans laquelle la matrice def 1,0 est :   1 00   0 10 . 0 0−1 1.3Diagonalisationdes´el´ementsdeEet application. 3 Onconsid`erelesvecteursdeRsuivants : ~u= (1,1,1)~v,= (1,−1,0),w~= (1,1,−2). 1. Justifierque les matrices de l’ensembleEsont diagonalisables. 3 2. MontrerqueC= (u~~,,vw~) est une base deR.

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