Ecricome 2007 mathematiques classe prepa hec (stg)

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ECRICOME 2007 voie T1. EXERCICE.On considŁre la fonction f dØterminØe sur ]0;+1[ par :x 1+lnxf(x) =x+1+2xOn se propose dans cet exercice d?Øtudier la fonction f et de la reprØsenter rela-! !tivement ? un repŁre orthonormal (O; i ; j ), l?unitØ choisie Øtant le cm.1.1. Etude d?une fonction g auxiliaire.Soit g la fonction dØ?nie sur ]0;+1[ par :+ 38x2R g(x) =x x+3 2lnx31. Soit P la fonction polyn?me dØterminØe P(x) = 3x x 2.1. Prouver que P est factorisable par x 1.2. EcrireP(x) sous la forme d?un produit de x 1 par un polyn?me Q(x)que l?on dØterminera.3. DØterminer alors le signe de P(x) surR.02. VØri?er que la fonction dØrivØe g peut s?Øcrire :P(x)+ 08x2R g (x) =x3. En dØduire les variations de g sur son domaine d?Øtude.4. Montrer que :+8x2R g(x)> 01.2. Etude de la fonction f.1. DØterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.Que peut-on en dØduire pour la reprØsentation graphique de f, notØeC ?f1. DØterminer la limite de f(x) lorsque que x tend vers +1.2. Montrer que la droite ( ) d?Øquation y =x+1 est asymptote ?C aufvoisinage de +1.3. Montrer que sur [1;+1[, la courbeC est au-dessus de la droite ( ) .f2. On donne le tableau de valeurs suivant :x 0;5 3f(x) 3;3 4;301. VØri?er que la fonction dØrivØe f peut s?Øcrire :g(x)+ 08x2R f (x) =3x2. En dØduire les variations de f.3. Donner l?allure de C et tracer la droite ( ) :f4. Hachurer la partie du plan comprise entreC , ( ) et les deux droitesfd?Øquation x ...

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Extrait

ECRICOME 2007 voie T

1. EXERCICE. On considère la fonctionfdéterminée sur]0;+1[par : x1 + lnx f(x) =x+ 1 + 2 x On se propose dans cet exercice détudier la fonctionfet de la représenter rela- !! tivement à un repère orthonormal(; jO; i), lunité choisie étant le cm.

1.1. Etude dune fonction g auxiliaire. Soitgla fonction dénie sur]0;+1[par : +3 8x2Rg(x) =xx+ 32 lnx 3 1. SoitPla fonction polynôme déterminéeP(x) = 3xx2. 1. ProuverquePest factorisable parx1. 2. EcrireP(x)sous la forme dun produit dex1par un polynômeQ(x) que lon déterminera. 3. Détermineralors le signe deP(x)surR. 0 2. Vérierque la fonction dérivéegpeut sécrire : P(x) + 0 8x2Rg(x) = x 3. Endéduire les variations degsur son domaine détude.

4. Montrerque :

+ 8x2Rg(x)>0