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ENAC 2004 icna epreuve commune classe prepa mp

9 pages
Questions li´ees : 1 `a 16 et 17 `a 40.La calculatrice personnelle est interdite; le concours fournit une calculatrice.PARTIE ISoit E un espace vectoriel euclidien de dimension 4 rapport´e `a une base orthonorm´ee B =(e ,e ,e ,e ). On consid`ere l’endomorphisme f de E qui a` tout vecteur de coordonn´ees1 2 3 4 a,b2 2 2(x,y,z,t) dans la baseB associe le vecteur de coordonn´ees (a x+aby +abz +b t,abx+a y +2 2 2 2 2b z+abt,abx+b y+a z+abt,b x+aby+abz+a t) dans la baseB, ou` a,b sont des r´eels fix´es.Question 1. La matrice M de f dans la baseB v´erifiea,b a,b 2(a+b) 0 0 02 0 (a+b) 0 0 a) M =a,b 2 0 0 (a+b) 020 0 0 (a+b)b) M est sym´etrique et a` coefficients complexesa,bc) M est inversible car toute matrice sym´etrique r´eelle est inversiblea,bd) M est diagonalisable car toute matrice sym´etrique complexe est diagonalisable.a,bQuestion 2. Le polynˆ ome caract´eristiqueχ(λ) = det(f −λid) de l’endomorphismef peut s’´ecrire,ida,b a,bd´esignant l’endomorphisme identit´e 2 1 ab ab b 2 2 1 a −λ b ab2 a) χ(λ) = (a+b) −λ 2 2 2 2 0 b −a +λ a −b −λ 0 2 2 0 0 0 a −b −λ 1 1 0 0 2 2 2 ab a −λ b −a +λ 02 b) χ(λ) = λ−(a+b) 2 2 2 ab b a −b −λ 0 2 2 2 b ab 0 a −b −λ 1 −1 0 2 2 2 2 c) χ(λ) = λ−(a+b) λ−a +b ab λ−a −1 2 ab −b 1 1 ab ab 2 2 2 2 2 d) χ(λ) = λ−(a+b) λ−a +b 1 a −λ b 0 −1 1Question 3. Les valeurs propres de l’endomorphisme f sont pour tout couple (a,b) de r´eelsa ...
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Questionsli´ees:1a`61te71a`04. La calculatrice personnelle est interdite ; le concours fournit une calculatrice.
PARTIE I
SoitEidneedideielcuilrapport´mension4roesnohtua`eabenm´oreeapsenurotcevecB= (e1, e2, e3, e4die`ocsn.)nOehismmorpendorelfa,bdeE´ennesuota`iuqdoorcodeurteectv 2 2 2 (x, y, z, t) dans la baseBsaicosodnne´se(elevecteurdecoora x+aby+abz+abxb t, +a y+ 2 2 2 2 2 b z+abt, abx+b y+a z+xabt, b +aby+abz+a t) dans la baseBu`o,a,b´exs.r´eslseesdtno Question 1.La matriceMa,bdefa,bdans la baseBeire´v   2 (a+b0 0) 0 2 0 (a+b) 0 0   a)Ma,b=2   0 0 (a+b) 0 2 0 0 0 (a+b) b)Ma,blempcotssxees´etrtsymtea`qieuicneoce c)Ma,binstrsveleibevnitseacelbisrrtoutematricesyme´rtqieu´reellee d)Ma,blanogaidtseexelp.leabistairtumeraotlbceecomriqum´etcesyseaidtanogasil Question 2.oˆemacarLpelonyiquect´eristχ(λ() = det fa,bλid) de l’endomorphismefa,btseup,reriec´id de´signantlendomorphismeidentite´ 2 1ab ab b 2 2   1aabλ b 2 a)χ(λ) = (a+b)λ 2 2 2 2 0ba+λ abλ0   2 2 0 0 0abλ 1 1 0 0 2 2 2   ab aλ ba+λ0 2 b)χ(λ) =λ(a+b) 2 2 2 ab b abλ0 2 2 2 b ab0abλ 11 0     2 2 2 2 c)χ(λ) =λ(a+b)λa+b ab λa1   2 abb1 1ab ab     2 2 2 2 2 d)χ(λ) =λ(a+b)λa+b1aλ b 01 1 Question 3.Les valeurs propres de l’endomorphismefa,bsont pour tout couple (a, be)d´reesl   2 2 2 2 a) 0, (a+b) , (ab) ,ab   2 2 2 2 b) (a+b) , (ab) ,ba   2 2 2 c)i|a+b|,i|a+b|, (ab) ,ab d) (a+b), (ab), (a+b) (ab) Question 4.L’endomorphismefa,b a) est diagonalisable car ses valeurs propres distinctes sont orthogonales b) est diagonalisable dans une base orthonormale deEdeesvedeetcepsrurpormre´offa,b c)nestpasdiagonalisablecarsesvaleurspropresnesontpastoutesdemultiplicite´1 d) ne peut admettre 0 comme valeur propre carfa,best diagonalisable. Question 5.On supppose dans cette questionaoubnul ; l’endomorphismefa,badmet alors
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