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ENAC 2004 recrutement d eleves pilote de ligne mathematiques

6 pages
6Question li´ees : 1 `a 18; 19 `a 22; 23 `a 29; 30 `a 32- PARTIE I -Pour n∈N, on d´efinit la fonction f par :n∗f :R →Rn +nx lnxsi x=12x7→f (x) =n x −1k si x = 1nou` k est un r´eel fix´e et ln d´esigne la fonction logarithme n´ep´erien. On notera C la courben nrepr´esentative de f dans un rep`ere orthonorm´e. n d´esignera un entier naturel dans cette partie.nQuestion 1 : Le d´eveloppement limit´e de la fonction ln(1+x) a` l’ordre 3 au voisinage de 0 s’´ecrit, εd´esignant une fonction telle que limε(x) = 0x→02 3 2 3x x x x3 3a) 1+x− + +x ε(x) b) x+ + +x ε(x)2 3 2 32 3 2 3x x x x3 3c) x− + +x ε(x) d) x− + +x ε(x)2 3! 2 31Question 2 : Le d´eveloppement limit´e de la fonction `a l’ordre 2 au voisinage de 0 s’´ecrit, ε2+ud´esignant toujours une fonction telle que limε(u) = 0u→02 2u u 1 u u2 2a) 1− + +u ε(u) b) + + +u ε(u)2 4 2 4 82u u 1 u2 2c)− + +u ε(u) d) − +u ε(u)4 8 2 4Question 3 : Le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de la fonction f au voisinage de 1 est alors, ε ´etant0 0une fonction v´erifiant limε (x) = 00x→1x−1 52 2a) 1− + (x−1) +(x−1) ε (x)02 121 x−1 52 2b) − + (x−1) +(x−1) ε (x)02 2 1221 2x−1 10x −9x+3 2c) − + +x ε (x)02 4 241 x 52 2d) − + x +x ε (x)02 2 12Question 4 : Pour tout entier n strictement positif, on a∗ n ∗a) f (x) =f (x) ∀x∈R b) f (x) =x f (x) ∀x∈Rn 0 n 0+ +net le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de la fonction x au voisinage de 1 s’´ecrit, εd´esignant une fonction telle que limε(x) = 0x→1n(n−1) 2 2c) ...
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Questionli´ees:1`a18;19a`22;23`a29;30`a32 - PARTIE I -PournNlafonitonnctio,e´dnfnpar : R fn:R+ n xlnx six6=1 2 x7→fn(x) =x1 knsix= 1 ou`knlexe´teseutrne´nelafonclnd´esightir´nemnoitagolnn.Oerot´eepenriaCnla courbe repr´esentativedefnohtroere`pernusnda.´ermnonnadltecsapeteitrunratiennaerretu.neigesd´ Question 1 :+1(folade´elnontincevolppmeneltmitiLed´exla`)a3erdro,tceirsinauvoi0s´gedeε de´signantunefonctiontellequelimε(x) = 0 x0 2 32 3 x xx x 3 3 a) 1+x+ +x ε(x) b)x+ + +x ε(x) 2 32 3 2 32 3 x xx x 3 3 c)x+ +x ε(x) d)x+ +x ε(x) 2 3!2 3 1 Question 2 :aue2droraginisvoe´s0ede,tircltolpipme´emveendeLleadit´eitnoofcna`lε 2 +u d´esignanttoujoursunefonctiontellequelimε(u) = 0 u0 2 2 u u1u u 2 2 a) 1+ +u ε(u) b)++ +u ε(u) 2 42 48 2 u u1u 2 2 c)+ +u ε(u) d)+u ε(u) 4 82 4 Question 3 :tcnonoievd´Letnilim´tlepoepemre2delafe`alordf0au voisinage de 1 est alors,ε0ntta´e une fonctionire´vtnalimε0(x) = 0 x1 x1 5 2 2 a) 1+ (x1) +(x1)ε0(x) 2 12 1x1 5 2 2 b)+ (x(1) +x1)ε0(x) 2 2 12 2 1 2x1 10x9x+ 3 2 c)+ +x ε0(x) 2 424 1x5 2 2 d)+x+x ε0(x) 2 2 12 Question 4 :Pour tout entiernstrictement positif, on a na)f(x) =f(x)xRb)f( n0 +nx) =x f0(x)xR + n etled´eveloppementlimite´`alordre2delafonctionxgena1sdeuvasioice´,tirε de´signantunefonctiontellequelimε(x) = 0 x1 n(n1) 2 2 c) 1+nx+x+x ε(x) 2 n(n1) 2 2 d) 1+n(x1) +(x(1) +x1)ε(x) 2 Question 5 :PournN`elaim´tera2odrsinauvoi1delgedeoitcnofael,nevd´opelmepelintfnest alors, aveclimεn(x) = 0 x1 2 1n1 3n9n+ 5 2 2 a)(x1) +(x1) +(x1)εn(x) 2 212 2 n1 3n9n+ 5 2 2 b) 1+ (x(1) +x(1) +x1)εn(x) 2 12 2 1n1 3n+ 9n+ 5 2 2 c) +(x1) +(x(1) +x1)εn(x) 2 212 1
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