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Questionli´ees:1`a18;19a`22;23`a29;30`a32 - PARTIE I -PournNlafonitonnctio,e´dnfnpar : R fn:R+ n xlnx six6=1 2 x7→fn(x) =x1 knsix= 1 ou`knlexe´teseutrne´nelafonclnd´esightir´nemnoitagolnn.Oerot´eepenriaCnla courbe repr´esentativedefnohtroere`pernusnda.´ermnonnadltecsapeteitrunratiennaerretu.neigesd´ Question 1 :+1(folade´elnontincevolppmeneltmitiLed´exla`)a3erdro,tceirsinauvoi0s´gedeε de´signantunefonctiontellequelimε(x) = 0 x0 2 32 3 x xx x 3 3 a) 1+x+ +x ε(x) b)x+ + +x ε(x) 2 32 3 2 32 3 x xx x 3 3 c)x+ +x ε(x) d)x+ +x ε(x) 2 3!2 3 1 Question 2 :aue2droraginisvoe´s0ede,tircltolpipme´emveendeLleadit´eitnoofcna`lε 2 +u d´esignanttoujoursunefonctiontellequelimε(u) = 0 u0 2 2 u u1u u 2 2 a) 1+ +u ε(u) b)++ +u ε(u) 2 42 48 2 u u1u 2 2 c)+ +u ε(u) d)+u ε(u) 4 82 4 Question 3 :tcnonoievd´Letnilim´tlepoepemre2delafe`alordf0au voisinage de 1 est alors,ε0ntta´e une fonctionire´vtnalimε0(x) = 0 x1 x1 5 2 2 a) 1+ (x1) +(x1)ε0(x) 2 12 1x1 5 2 2 b)+ (x(1) +x1)ε0(x) 2 2 12 2 1 2x1 10x9x+ 3 2 c)+ +x ε0(x) 2 424 1x5 2 2 d)+x+x ε0(x) 2 2 12 Question 4 :Pour tout entiernstrictement positif, on a na)f(x) =f(x)xRb)f( n0 +nx) =x f0(x)xR + n etled´eveloppementlimite´`alordre2delafonctionxgena1sdeuvasioice´,tirε de´signantunefonctiontellequelimε(x) = 0 x1 n(n1) 2 2 c) 1+nx+x+x ε(x) 2 n(n1) 2 2 d) 1+n(x1) +(x(1) +x1)ε(x) 2 Question 5 :PournN`elaim´tera2odrsinauvoi1delgedeoitcnofael,nevd´opelmepelintfnest alors, aveclimεn(x) = 0 x1 2 1n1 3n9n+ 5 2 2 a)(x1) +(x1) +(x1)εn(x) 2 212 2 n1 3n9n+ 5 2 2 b) 1+ (x(1) +x(1) +x1)εn(x) 2 12 2 1n1 3n+ 9n+ 5 2 2 c) +(x1) +(x(1) +x1)εn(x) 2 212 1