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Questions liées.
ÉNONCÉ
[1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11,12,13] [14,15,16,17,18] [19,21,21,22,23] [24,25,26,27,28] [29,30,31,32,33,34] [35,36,37,38,39,40]
Une diode à vide est constituée d'une cathode métallique filiforme C portée par l'axe Oz d'un repèreR(Oxyz) et d'une anode métallique cylindrique A coaxiale à la cathode, de hauteur h et de rayon R. Une source de tensionz connectée aux bornes de la diode délivre une tension continue VUCledV=Aac VhtaCedopeul'oniretfare.avirernOpqupeouroriginedesopettneisl(VCp0oe=l)r.alienttednA R L'espace inter-électrode compris entre l'anode et la cathodeC contient des électrons qui ont été émis sans vitesse initialeez zr ldeespvuaisrilaablceastrh,oθd,tsmèuyspertserapeérén'udMontrecélsipoontie.daLlycrdnieuqiedsdeeooconrdesnéeθh zM baseer,eθ,ezdéfini sur le schéma de la figure ci-contre.er Compte tenu de la symétrie du problème, la vitessev desO déleerc.tronsainsiquelachargevolumiqueρde sont fonctions quexθy On rappelle que le laplacienf(r) d'une fonction scalaire f(r) qui ne dépend que de la variable r s'écrit, dans le système de coordonnées cylindriques : df r f r= r1 d ( )r drdr)
1.obéit le potentiel V(r) en un point quelconque de l'espace l'équation différentielle à laquelle  Écrire inter-électrode.a) d2V2(r)+1 dV(rερ+)0r=)0b) d2Vdr2r)+2drrVrdρε)+r=)0 dr r dr0 d2V r 2 dV r r + −c) dr2 +( )r drερ)(0=)0d) d2drV2r)rdVr1rd)ερ0r)=0
2. Déduire de l'application du théorème de l'énergie mécanique, l'expression de la vitesse v(r) des électrons (que l'on supposera non relativistes), en fonction de leur chargee, de leur masse m et du potentiel V(r) (on négligera la force de pesanteur devant la force électrique). a) v(r) =eV(r)b) v(r) =2eVm(r)c) v(r ε) =0e2Vm(r)d) v(r) =2emV(r)m
3. Calculerl'intensité I(r) du courant qui traverse la surface cylindrique d'axe Oz, de rayon r, de hauteur h et de normalen=er, en fonction deρet de la vitesse v(r) des électrons.(r), h, r a) I(r) = −πh rρ(r)v(r)b) I r) = −2πε0h r2ρr)v r)c) I(r) = −2πh rρ(r)v(r)d) r I) = −πε0h r2ρr)v r)
4. Montrer que le potentiel V(r) obéit à l'équation différentielle : d2V r dV r I K2 r=r dr2)+dr( ) )( (V(r))1 /Exprimer K.
AC