Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

ENSAE 1999 mathematiques classe prepa b/l

3 pages
E.N.S.A.E. 1999. Concours “´economie”PROBLEME 1Noration:Pourdeuxentiersnaturelspetq≥p,onnote[p,q]] = [p,q]∩N,c’est-`a-direl’ensembledes entiers naturels compris, au sens large, entre p et q.∗1)a)Pour tout entier k∈N , ´etablir la formulekXj kC = 2 (1)kj=02N+1Xj∗En d´eduire la valeur, pour N ∈N , de C .2N+1j=N+1rXn−1 nb)Pour tous n∈N, n≥ 2, et r∈N, montrer que : C = C (2)n+rn−1+jj=02)a)Soient n et p deux entiers v´erifiant : 1≤p≤n. Rappeler la valeur du cardinal de l’ensembleE des suites strictement croissantes `a p ´el´ements dans l’ensemble I = [[1,n]] :E ={(q ,q ,...,q )/1≤q
Voir plus Voir moins
E.N.S.A.E.1999.Concours´economiePROBLEME 1 Noration :Pour deux entiers naturelspetqp, on note[p, q]] = [p, q]N-`ste,clerid-aelbmesne des entiers naturels compris, au sens large, entrepetq. 1)a)Pour tout entierkNillrteba´,muleafor k X j k C =2 (1) k j=0 2N+1 X j Ende´duirelavaleur,pourNNC ., de 2N+1 j=N+1 r X n1n b)Pour tousnN, n2, etrNC =C (2), montrer que : n1+j n+r j=0 2)a)Soientnetp:t1uediersxentianv´erpn. Rappeler la valeur du cardinal de l’ensemble Edsantes`aentcroistsirtcmeseustisepeblemnselsnadstneme´le´I=[1, n]] : E={(q1, q2, . . . , qp)/1q1< q2< .. .< qpn} Soitr[0, p1]] etk[0, nte´e.D]]leerinrmlanidrace-suosudnsemble1EkdeE constitue´dessuitesstrictementcroissantes(q1, q2, . . . , qp) pour lesquellesqr+1=k+ 1. np+r X p rpr1 End´eduirelaformuleC=CC n knk1 k=r b)uttourseluammoaledmrofntvapoe,irtouies´Ddeiuipr´ec`eredecequNN: N X N k2N SN2 =2= C 2Nk k=0 c)4(c)itnosssu-iedrouvRetrelaerlarrence.ennotnemrrapuce´l`adeaiundisra 3)xdcueasevojruteuoenm`roep,snimu´edrevuorteresedruruedobbnno,sedepUnamate boıˆtesdecachous,unedanschaquepochedesaveste.Initialementchaqueboˆıte,neuve, contientlemˆemenombreN(NN) de cachous. Chaque fois qu’il a envie d’un bonbon, lindividuchoisituneboˆıteauhasard(leschoix´etantinde´pendants)etentireunbonbon. On noteXNnadtertsnalslavarlbai´laeotaederiomunedbronebnsboautreboˆıte lorsqu’il se rend compte que l’une des boˆıtes est vide (on prendra garde que ceci ne se produit pas lorsquiltireledernierbonbon,maisa`latentativesuivante). a)e´laiotaerbaelaviredallaionerlermiD´etXN. Ve´rierquonabienuneloideprobabilit´e. ´ b)Etablir la relation, pour toutk[0, N1]] : 2(Nk)P(XN=k) = (2N+ 1)P(XN=k+ 1)(k+ 1)P(XN=k(5)+ 1) End´eduireque E(XN) = (2N+ 1)P(XN= 0)1 (6) En admettant que  n n n!2(7) n+e q N montrer que :E(XN)2 . π n+c)On appelleYNvalairaederbmonrsnobnobdanttaesns´laelbaepeerotripournanturlevale lautreboˆıtelorsquunepremi`ereboˆıteestvide´e(etnonlorsquonde´couvrequelleestvide). De´terminerlaloideYN. d)tie´balirpboeraleduiEnd´pName`ire`etpaslapr´eenesoirteˆdiveıˆoba`etmirere`equapel ˆetretrouve´evide.
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin