ENSAE 1999 mathematiques classe prepa b/l

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E.N.S.A.E. 1999. Concours “´economie”PROBLEME 1Noration:Pourdeuxentiersnaturelspetq≥p,onnote[p,q]] = [p,q]∩N,c’est-`a-direl’ensembledes entiers naturels compris, au sens large, entre p et q.∗1)a)Pour tout entier k∈N , ´etablir la formulekXj kC = 2 (1)kj=02N+1Xj∗En d´eduire la valeur, pour N ∈N , de C .2N+1j=N+1rXn−1 nb)Pour tous n∈N, n≥ 2, et r∈N, montrer que : C = C (2)n+rn−1+jj=02)a)Soient n et p deux entiers v´erifiant : 1≤p≤n. Rappeler la valeur du cardinal de l’ensembleE des suites strictement croissantes `a p ´el´ements dans l’ensemble I = [[1,n]] :E ={(q ,q ,...,q )/1≤q

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Extrait

E.N.S.A.E.1999.Concours“´economie” PROBLEME 1 Noration :Pour deux entiers naturelspetq≥p, on note[p, q]] = [p, q]∩N-`st’e,c’lerid-aelbmesne des entiers naturels compris, au sens large, entrepetq. ∗ 1)a)Pour tout entierk∈Nillrteba´,muleafor k X j k C =2 (1) k j=0 2N+1 X j ∗ Ende´duirelavaleur,pourN∈NC ., de 2N+1 j=N+1 r X n−1 n b)Pour tousn∈N, n≥2, etr∈NC =C (2), montrer que : n−1+ j n+r j=0 2)a)Soientnetp:t1uediersxentifianv´er≤p≤n. Rappeler la valeur du cardinal de l’ensemble Edsantes`aentcroistsirtcmeseustisepeblemns’elsnadstneme´le´I=[1, n]] : E={(q 1 , q 2 , . . . , q p )/1≤q 1 < q 2 < .. .< q p ≤n} Soitr∈[0, p−1]] etk∈[0, n−te´e.D]]leerinrmlanidrace-suosudnsemble1E k deE constitue´dessuitesstrictementcroissantes(q 1 , q 2 , . . . , q p ) pour lesquellesq r+1 =k+ 1. n−p+r X p r p−r−1 End´eduirelaformuleC=CC n k n−k−1 k=r ∗ b)uttourseluammoaledmrofntvapoe,irtouies´Ddeiuipr´ec`eredecequN∈N: N X N k2N S N 2 =2= C 2N−k k=0 c)4(c)itnosssu-iedrouvRetrelaerlarrence.ennotnemrrapuce´l’`adeaiund’isra 3)xdcueasevojruteuoenm`roep,snimu´edrevuorteresedruruedobbnno,sedepUnamate boıˆtesdecachous,unedanschaquepochedesaveste.Initialementchaqueboˆıte,neuve, ∗ contientlemˆemenombreN(N∈N) de cachous. Chaque fois qu’il a envie d’un bonbon, l’individuchoisituneboˆıteauhasard(leschoix´etantinde´pendants)etentireunbonbon. On noteX N nadterts’nalslavarlbai´laeotaederiomunedbronebnsboautreboˆıte lorsqu’il se rend compte que l’une des boˆıtes est vide (on prendra garde que ceci ne se produit pas lorsqu’iltireledernierbonbon,maisa`latentativesuivante). a)e´laiotaerbaelaviredallaionerlermiD´etX N . Ve´rifierqu’onabienuneloideprobabilit´e. ´ b)Etablir la relation, pour toutk∈[0, N−1]] : 2(N−k)P(X N =k) = (2N+ 1)P(X N =k+ 1)−(k+ 1)P(X N =k(5)+ 1) End´eduireque E(X N ) = (2N+ 1)P(X N = 0)−1 (6) En admettant que √   n n n!∼2nπ(7) n→+∞ e q N montrer que :E(X N )∼2 . π n→+∞ c)On appelleY N valairaederbmonrsnobnobdanttaesns´laelbaepeerotripournanturlevale l’autreboˆıtelorsqu’unepremi`ereboˆıteestvide´e(etnonlorsqu’onde´couvrequ’elleestvide). De´terminerlaloideY N . d)tie´balirpboeraleduiEnd´p N ame`ire`etpaslapr´eenesoirteˆdiveıˆoba`etmirere`equapel ˆetretrouve´evide.