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ENSAE 2002 mathematiques classe prepa b/l

4 pages
´E.N.S.A.E. 2002 Math´ematiques (Option Economie)AVERTISSEMENT : II est rappel´e `a tous les candidats que le programme officiel de l’´epreuveest le programme de Math´ematiques des classes pr´eparatoires au concours d’admission du groupe´Sciences sociales (B/L) de la section des lettres de l’Ecole normale sup´erieur`e, dites “Khagnes S”.Toute r´esolution faisant appel `a des r´esultats ne figurant pas explicitement a` ce programme serarejet´ee.Les deux probl`emes sont ind´ependants.PROBLEME 1X 11)a)Pour quelles valeurs de q∈Z la s´erie est-elle convergente?qpp≥12πEn cas de convergence, on note Z(q) sa somme. On admet que Z(2) = .6∗b)D´eterminer trois r´eels a,b,c tels que, pour tout p∈N , on ait :1 a b c= + +2 2p(p+1) p p+1 (p+1)+∞X 1c) Justifier la convergence de la s´erie et calculer la valeur de sa somme S.2p(p+1)p=1∞2)a)Soit f une fonction de classe C sur un intervalle ouvert I deR contenant 0. Prouver parr´ecurrence sur n que : Zn xp nX x (x−t)(p) (n+1)(∀x∈I) (∀n∈N) f(x) = f (0) + f (t)dt (1)p! n!0p=0(p)ou` f d´esigne la d´eriv´ee p-i`eme de f.b)Montrer que, pour tout x≥ 0, on a : n p n+1Xx x x xe − ≤ e (2) p! (n+1)!p=0c) Pour x∈ [0,1[, on pose g(x) = ln(1−x). Calculer la d´eriv´ee p-i`eme de g.x−t´Soit x∈ [0,1[ fix´e. Etudier les variations de la fonction θ(t) = sur l’intervalle [0,x] et1−ten d´eduire que : n p n+1Xx x ln(1−x)+ ≤ (3) p 1−xp=13) Soientp etq deux entiers naturels. On d´esigne parH la ...
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´ E.N.S.A.E.2002Math´ematiques(OptionEconomie) AVERTISSEMENT:IIestrappel´e`atouslescandidatsqueleprogrammeocieldele´preuve estleprogrammedeMath´ematiquesdesclassespre´paratoiresauconcoursdadmissiondugroupe ´ Sciencessociales(B/L)delasectiondeslettresdelEcolenormalesup´erieur`e,ditesKhagnesS. Touter´esolutionfaisantappel`adesr´esultatsnegurantpasexplicitement`aceprogrammesera rejete´e. Lesdeuxprobl`emessontind´ependants.
PROBLEME 1
X 1 1)a)Pour quelles valeurs deqZelt-eserie´sal?eegtnvnreeloc q p p1 2 π En cas de convergence, on noteZ(q) sa somme. On admet queZ.(2) = 6 b)mieretD´siortrenslee´ra, b, ctels que, pour toutpN, on ait : 1ca b = ++ 2 2 p(p+ 1)p p+ 1(p+ 1) +X 1 c)lreluclactemeomasesrdeualavdeleegcnvnrealocrieas´etsuJreiS. 2 p(p+ 1) p=1 2)a)Soitfune fonction de classeCsur un intervalle ouvertIdeRcontenant 0. Prouver par re´currencesurnque : Z n x n p X x(xt) (p) (n+1) (xI) (nN)f(x) =f(0) +f(t) dt(1) p!n! 0 p=0 (p) ou`fe´ir´veed´esigneladp-`imedeef. b)Montrer que, pour toutx0, on a : n X p n+1 x x x x e− ≤e (2) p!(n+ 1)! p=0 c)Pourx[0,1[, on poseg(x) = ln(1xeead´eriv´laucellr)C.p-i`emedeg. xt ´ Soitx[0,1[dueilrsexe´.tEdensfolarivaioatitcnnoθ(t) =sur l’intervalle [0, x] et 1t ende´duireque: n X p n+1 x x ln(1x) +(3) p1x p=1 3)SoientpetqdeuxentiertanslerunO.sse´dneigrpaHp,qdne´tcoip,uoneirlonafx >0, par p q Hp,q(x) =x(lnx) . ´ a)raegleldet´indutEonacrlieceenrgve Z Z 1 1 p q Ip,q=Hp,q(x) dx=x(lnx) dx 0 0 b)Pour tout entier naturelp, calculerIp,0. c)Pour tout couple d’entiers naturels (p, qmoe,rentuerqinlleuqllesnocegrevlrsep)uo´tgearel Ip,qest de la forme q! Ip,q=Cq q+1 (p+ 1) ou`Cqel´enrtuenepd´neuqdeadtnseeqi´teec(iloanspurr.qVu´eesreireaeulq,Cq)qNest born´ee.
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