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´ E.N.S.A.E.2002Math´ematiques(OptionEconomie) AVERTISSEMENT:IIestrappel´e`atouslescandidatsqueleprogrammeocieldele´preuve estleprogrammedeMath´ematiquesdesclassespre´paratoiresauconcoursdadmissiondugroupe ´ Sciencessociales(B/L)delasectiondeslettresdelEcolenormalesup´erieur`e,ditesKhagnesS. Touter´esolutionfaisantappel`adesr´esultatsnegurantpasexplicitement`aceprogrammesera rejete´e. Lesdeuxprobl`emessontind´ependants.
PROBLEME 1
X 1 1)a)Pour quelles valeurs deqZelt-eserie´sal?eegtnvnreeloc q p p1 2 π En cas de convergence, on noteZ(q) sa somme. On admet queZ.(2) = 6 b)mieretD´siortrenslee´ra, b, ctels que, pour toutpN, on ait : 1ca b = ++ 2 2 p(p+ 1)p p+ 1(p+ 1) +X 1 c)lreluclactemeomasesrdeualavdeleegcnvnrealocrieas´etsuJreiS. 2 p(p+ 1) p=1 2)a)Soitfune fonction de classeCsur un intervalle ouvertIdeRcontenant 0. Prouver par re´currencesurnque : Z n x n p X x(xt) (p) (n+1) (xI) (nN)f(x) =f(0) +f(t) dt(1) p!n! 0 p=0 (p) ou`fe´ir´veed´esigneladp-`imedeef. b)Montrer que, pour toutx0, on a : n X p n+1 x x x x e− ≤e (2) p!(n+ 1)! p=0 c)Pourx[0,1[, on poseg(x) = ln(1xeead´eriv´laucellr)C.p-i`emedeg. xt ´ Soitx[0,1[dueilrsexe´.tEdensfolarivaioatitcnnoθ(t) =sur l’intervalle [0, x] et 1t ende´duireque: n X p n+1 x x ln(1x) +(3) p1x p=1 3)SoientpetqdeuxentiertanslerunO.sse´dneigrpaHp,qdne´tcoip,uoneirlonafx >0, par p q Hp,q(x) =x(lnx) . ´ a)raegleldet´indutEonacrlieceenrgve Z Z 1 1 p q Ip,q=Hp,q(x) dx=x(lnx) dx 0 0 b)Pour tout entier naturelp, calculerIp,0. c)Pour tout couple d’entiers naturels (p, qmoe,rentuerqinlleuqllesnocegrevlrsep)uo´tgearel Ip,qest de la forme q! Ip,q=Cq q+1 (p+ 1) ou`Cqel´enrtuenepd´neuqdeadtnseeqi´teec(iloanspurr.qVu´eesreireaeulq,Cq)qNest born´ee.