ENSAI composition de mathématiques 2008 eco

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INSTITUT NATIONAL DE LA STATISTIQUE ET DES ETUDES ECONOMIQUES ECOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L’ANALYSE DE L’INFORMATION ______________ Concours d’élève ingénieur de l’ENSAI Concours d’attaché statisticien____________ MAI 2008 _________ SPECIALITE ECONOMIE _____________ composition de mathématiques Durée : 4 heures _____________ L’usage des calculatrices est interdit. Le sujet comprend 4 pages (y compris celle-ci) Le sujet se compose de 3 parties indépendantes 1Premi`ere partie :Dans toute cette partie, I d´esigne la matrice identit´e de dimension 3. On consid`ere la matrice : 1 2 −2 M = 1 5 −41 2 −11) Montrer que les valeurs propres de la matrice M sont 1 et 3. Est-ce-que la matrice M est diagonalisabledans M (R) ?32) D´eterminer trois constantes r´eelles a,b,c telles que pour tout x∈R\{1,3},1 ax+b c= + .2 2(x−1) (x−3) (x−1) (x−3)2On pose P = (aM +bI)(M−3I) et P =c(M−I) .1 22 23) Calculer les matrices P , P , P , et P .1 2 1 24) On note D =P +3P et N =M−D.1 224-a) Calculer D, N, N , DN et ND.k k 04-b) Montrer que pour tout k∈N,D =P +3 P . (Avec par convention, D =I).1 2k k4-c) Montrer que pour tout k∈N,M =D +kN.k4-d) En d´eduire M pour tout entier naturel k.Deuxi`eme partie :Dans toute cette partie, on consid`ere un entier n≥ 1 et on note D l’ensemble des nombres complexesde module inf´erieur ou ´egal `a 1 et z ,z ,...,z les racines ...

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INSTITUT NATIONAL DE LA STATISTIQUE ET DES ETUDES ECONOMIQUES ECOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L’ANALYSE DE L’INFORMATION ______________

Concours d’élève ingénieur de l’ENSAI

Concours d’attaché statisticien ____________

MAI 2008 _________

SPECIALITE ECONOMIE _____________

 compositionde mathématiques

Durée : 4 heures

_____________

L’usage des calculatrices est interdit.

Le sujet comprend 4 pages (y compris celleci)

Le sujet se compose de 3 parties indépendantes

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