La lecture en ligne est gratuite
Télécharger

Publications similaires

A MATH I MP

de profil-nechor-2012

A MATH II MP

de profil-nechor-2012

A 2006MATH. IMP
ÈCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÈES. ÈCOLES NATIONALES SUPÈRIEURES DE L’AÈRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÈES, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÈTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÈCOLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2006
PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES I - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
PourK=RouC, on noteMn,l(K)l’ensemble des matrices Ànlignes etlcolonnes À coefficients dansK. Un lment deMn,l(R)sera considr comme lment deMn,l(C). Dans la suite, on identifie les matrices carres (respectivement les matrices colonnes) et les endomorphismes (respective-n ment les vecteurs) canoniquement associs dansC: par exemple, on note n par la mme lettre une matriceTdeMn,n(R)et l’endomorphisme deC n dontTest la matrice dans la base canonique deC. l SiM∈ Mn, l(K)etxK,(M x)idsigne lai-ime composante du n vecteurM xK. On noteInla matrice identit deMn,n(C). Pourx= n (x1,∙ ∙ ∙, xn)K, on note n X kM xk1 kxk1=|xi|etkMk1= sup, xK\{0}kxk1 n i=1 pourM∈ Mn,n(K), la norme matricielle subordonne. DÉfinition 1On dit qu’une matriceM∈ Mn,l(R),de coefficients notÉs (mij,1in,1jl), est positive (respectivement strictement po-sitive), ce que l’on noteM0(respectivementM >0), lorsque tous ses coefficients sont positifs (respectivement strictement positifs): mij0( resp.mij>0) pour tout(i, j)∈ {1,∙ ∙ ∙, n} × {1,∙ ∙ ∙, l}. Pour deux matricesMetNdeMn,l(R),MN(respectivementM >N) lorsqueMN0(respectivementMN >0). Une matriceM∈ Mn,n(R)de coefficients notÉs(mij,1i, jn)est dite stochastique lorsqu’elle est positive et que de plus n X mij= 1,pour toutj∈ {1,∙ ∙ ∙, n}. i=1 + On dfinit les ensemblesB,BetΣpar : n B={xR/ x0etx6= 0}, +n B={xR>/ x0}, n Σ ={xR/kxk1= 1}. Nous souhaitons montrer le rsultat suivant: ThÉorÈme 1 (Perron-Frobenius)SoitT∈ Mn,n(R)stochastique telle n1 que(In+T)>0. Il existe un vecteur strictement positifx0satisfaisant T x0=x0. Toutes les valeurs propres deTsont de module infÉrieur À1et pour tout vecteurydeΣB, k1 X 1x0 j limT y=. k+kkx0k1 j=0
2
Les deux parties sont dans une large mesure indÉpendantes.
I Unvecteur propre strictement positif On suppose queTest un ÉlÉment positif deMn,n(R)tel que n1 P= (In+T)est strictement positive. + 1) Montrerque pour toutxB, l’ensembleΓx={θR/ θxT x}est non vide, ferm et born.
On noteθ(x)son plus grand lment.
2) Montrerque pour toutxB, on peut calculerθ(x)de la manire sui-vante : (T x)i θ(x1) = mininetxi6= 0. xi
+ On noteθl’application deBdansRqui Àxassocieθ(x).
3) Montrerque pour toutα >0et toutxB,θ(αx) =θ(x).
+ 4) MontrerqueP(B)B.
5) Montrerque pour toutxB,θ(P x)θ(x)etθ(P x)>0.
6) SoitxBun vecteur propre deT. Montrer queθ(P x) =θ(x).
7) SoitxBtel queθ(P x) =θ(x), montrer quexest un vecteur propre deTpour la valeur propreθ(x).
8) SoitC=BΣ. Montrer que l’applicationθest continue deP(C)dans R.
9) Justifierl’existence dex0P(C)tel queθ(x0sup) =θ(x). xP(C)
10) Montrerquesupθ(x)supθ(x). xP(C)xC 11) Montrerquesupθ(x) = supθ(x). xB xC 3
12) Montrerquesupθ(xsup) =θ(x)et queθ(x0) = supθ(x). xC xP(C)xC On poseθ0=θ(x0). 13) Montrerquex0est un vecteur propre, strictement positif, deTpour la valeur propreθ0et queθ0>0.
II UnemÉthode d’approximation n1 On suppose maintenant queTest stochastique et telle queP= (In+T) est strictement positive.
n+ Pour un vecteurx= (x1,∙ ∙ ∙, xn)deC, on notexle vecteur(|x1|,∙ ∙ ∙,|xn|), |z|est le module du complexez. Pour tout entierk1, on pose k1 X 1 j Rk=T . k j=0 n 14) SoitθCetxCun vecteur propre deTpour la valeur propreθ. + + Montrer que|θ|xT x. 15) Endduire que|θ| ≤θ0.
+ + 16) Montrerque|θ| kxk1≤ kxk1et en dduire que|θ| ≤1.
17) Endduireθ0= 1. j 18) Montrerque pour toutj1,TetRjsont des matrices stochastiques. 19) tablir,pour toutk1, les ingalits suivantes: k kTk11etkRkk11.
2 20) Montrerque pour toutk1,kT RkRkk1. k n 21) SoitxC, montrer que la suite(Rkx, k1)a au moins une valeur d’adhrence.
4
22) Soityune valeur d’adhrence de la suite(Rkx, k1), montrer que T y=yet que pour toutk1,Rky=y.
23) Soityetzdeux valeurs d’adhrence de(Rkx, k1), montrer pour tous les entiersmetl, l’identit suivante:
yz=Rl(Rmxz)Rm(Rlxy).
24) Montrerque la suite(Rkx, k1)a exactement une valeur d’adhrence.
25) Montrerqu’il existe une matriceRtelle queRx= limRkxpour tout k+n xCetlimkRkRk1= 0. k+
26) MontrerqueTetRcommutent.
2 27) MontrerqueRT=RetR=R.
28) CaractriserRen fonction deKer(TIn)etIm(TIn).
29) Onadmet queKer(TIn)est de dimension1. PourxB, expliciter Rxen fonction dekxk1,kx0k1etx0.
FIN DU PROBLME
Ce thÉorÈme possÈde d’innombrables applications. L’une des derniÈres est son utilisation dans le classement (PageRank) des pages Web effectuÉ par le plus connu des moteurs de recherche.
5