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CONCOURS COMMUN 2005 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve de Mathématiques (toutes filières)
Jeudi 19 mai 2005 de 14h00 à 18h00
Instructions générales:
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres correspon-dante.
L’emploi d’une calculatrice est interdit
PROBLÈME D’ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE
Les quatre partiesA, B, C, Dde ce problème sont totalement indépendantes entre elles. Dans tout ce problème, on se place dans l’espace usuel muni d’un repère orthonormé direct   R=., k, jO, iOn noteEl’ensemble des points de l’espace etEl’ensemble des vecteurs de l’espace. Lesdifférentes coordonnées et équations qui apparaissent dans l’énoncé sont relatives au repèreR. −→ −→−→ −→−→ SiX=x i+y j+z k ,on pourra aussi noterX= (x, y, z). −→ −→−→ Siα, βetδsont trois réels fixés et sivu ,etwsont trois vecteurs fixés deE, on notef −→ l’application linéaire deEdansEdéfinie pour tout vecteurXdeEpar    −→ −→−→ f X=α Xu v+β X+δ Xw
A - Etude de l’intersection de deux plans mobiles et d’un plan fixe y=z −→ On noteDla droite passant parOdirigée para=i+j+k , Dla droite d’équations, x= 1 Qle plan d’équationy+z= 0et enfin, pour tout réelm, Pmest le plan d’équationx+mymz= 1. −→ A - 1)Donner un vecteur normalnmdePmainsi qu’un point et un vecteur directeur deD. Vérifier que tous les plansPmcontiennent la droiteD. −→ −→−→A - 2)Calculerrm=nma .En déduire queDn’est pas orthogonale àPm.On appelle alorsRm l’unique plan contenantDet perpendiculaire àPm.Obtenir une équation cartésienne deRm. A - 3)Déterminer, pour tout réelm,les coordonnées dansRdeImpoint d’intersection des plans Pm, QetRm.   2 2 21 A - 4)On note(S)d’équationx+y+z=xetle point deQde coordonnées,0,0. 2 Préciser la nature géométrique de(S)ainsi que les éléments géométriques qui le caractérisent. CONCOURS COMMUN SUP 2005 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Page 1/4 Épreuve de Mathématiques (toutes filières)