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CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Jeudi 11 mai 2006 de 14h00 à 18h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres corres-pondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit
PREMIER PROBLÈME §désigne l’ensemble des nombres réels. On noteraM2(§) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que (M2(§),+,.) est un espace vectoriel sur§et×désigne la mul-tiplication des matrices. ˜désigne l’ensemble des complexes. On noterazle module d’un complexez. Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles mais peuvent être traitées séparément. Étude d’une fonction. z² Soitfla fonction qui à un complexezc’est possible,associe, lorsquef(z) =. z2i 1.Déterminer le domaine de définitionDdef2. a.Déterminer les racines carrées complexes de8 6i.  b.En déduire tous les antécédents de1iparf. 3.Soithun complexe. Discuter suivant les valeurs dehle nombre d’antécédents dehparf. 4.Déterminer l’imagef(D) deD parf. La fonctionfest-elle une application surjectivede D dans˜ ? 5.fest elle une application injective deDdans˜? CONCOURS COMMUN SUP 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page1/4