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Enstim 2004 mathematiques mathematiques 2004

4 pages
CONCOURS COMMUN 2004 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Mardi 18 mai 2004 de 14h00 à 18h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. ts sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres corres-pondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit ANALYSE PREMIERE PARTIE 2Soit (E) l’équation différentielle : (1 − x) y' = (2 − x)y . On note I l’intervalle ] - ∞, 1[. 2 − x1. Calculer une primitive A de la fonction a définie sur I par : a(x) = . 2(1 − x)2. Intégrer (E) sur I. 111 −xSoit f la fonction définie sur I par : f(.x) = e 1 − x 3. Calculer le développement limité de f au voisinage de 0 à l’ordre 3. CONCOURS COMMUN SUP 2004 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page 1/4 DEUXIEME PARTIE 4. Prouver par récurrence que, pour tout entier naturel n, il existe un polynôme P tel que : n11(n) 1 −xf (x) = P ( )e pour tout réel x appartenant à I. n 1 − xLa démonstration permet d’exprimer P (X) en fonction de P (X), P’ (X) et X . Expliciter n+1 n ncette relation. 5. Préciser P , P , P et P . 0 1 2 3 6. En dérivant n ...
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CONCOURS COMMUN 2004
DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Mardi 18 mai 2004 de 14h00 à 18h00
Instructions générales :
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres corres-
pondante.
L'emploi d'une calculatrice est interdit
ANALYSE
PREMIERE
PARTIE
Soit (E) l’équation différentielle :
.
y
x
y
x
)
2
(
'
)
1
(
2
=
On note I l’intervalle
] -
, 1[.
1.
Calculer une primitive A de la fonction
a
définie sur
I
par :
2
)
1
(
2
)
(
x
x
x
a
=
.
2.
Intégrer (E) sur I.
Soit f
la fonction définie sur I par :
x
e
x
x
f
=
1
1
1
1
)
(
.
3.
Calculer le développement limité de
f
au voisinage de 0 à l’ordre 3.
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Épreuve de Mathématiques (toutes filières)
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