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CONCOURS COMMUN 2006 ´ ` DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES ´ EpreuveSp´eciquedeMathe´matiques (li`ereMPSI) Vendredi12mai2006de08h00`a12h00 ——————————————————————— Instructionsg´en´erales: Lescandidatsdoiventv´erierquelesujetcomprend4pagesnume´rot´ees1/4,2/4,3/4,4/4. Lescandidatssontinvit´es`aporteruneattentionparticuli`erea`lar´edaction:lescopiesillisiblesoumal pr´esente´esserontp´enalise´es. Lescandidatscollerontsurleurpremie`refeuilledecompositionle´tiquettea`code`abarrescorrespondante.
L’emploi d’une calculatrice est interdit.
Bare`meindicatif:10pointspourchaqueproble`me Probl`eme1:Analyse kDanstoutleprobl`eme,onadoptelanotation`n(x)( aveckNetx]0,+[)octureecrimme´ k 0 simplie´edunombrer´eel(`n(x))et par convention, on pose :`n(x) = 1( y compris six= 1).
Partie1:´etudedunarcparam´etr´e 3 2 Pourtoutnombrere´elstrictementpositift, on pose :x(t) =t.`n(t)ety(t) =t.`n(t). Onpose´egalementx(0) =y(0) =λR. Onsouhaite´etudierlarcparame´tre´f:t7→(x(t), y(t)). Leplanusueldelag´eom´etrieestmunidunrepe`reorthonormalR= (O,~ı, ~). + SoitCedceosoprodionntesndsuepmlbanldel´nees(x(t), y(t))lorsquetecd´triR.
1)Pour quelle valeur deλles fonctionsxetysont-elles continues en0? On suppose dans la suite queλprend cette valeur. 0 0 2)renirus,D´eterm]0,+[s´veel,foestincsdonri´exety.iu´spierletudigneeurs 3)tcnosnoisddexfeuatrinsioennoDmnusnadrbltameˆevaesuleaxety. Dans ce tableau devront figurer les limites aux bornes, ainsi que les valeurs dexetyaux points particuliers. n n Cesvaleursserontdonne´essouslunedestroisformessuivantes:nbien avec, ounZ. 2 3 e e 4)or,luerqnoleuesqertnoM´reebmerluest au voisinage du nombre0, on a :   3 23 x(1 +u)u y(1 +u) =u+o u Ende´duirequeluniquepointsingulierdelarc,obtenupourleparame`tret=t0rmteerin`´eadtse,nu pointderebroussementdontonpr´eciseralanature.Repr´esentersurunsch´ema,sanse´tudesuppl´ementaire, l’allure deClorsquetest au voisinage det0er.gu,litmseiennniopuaetnegnatalceenidevn´teantt y(t) 5)mitiellsnireetmrD´eeloesqursttend vers+puis vers0a`(oinelafonctdroite)dt7→. x(t) Conclurequanta`lanaturedelabrancheinniedelarcainsiquesurlexistencedunedemi-tangente`a larcaupointdeparam`etret= 0. 6)a)etsrceitnDo´eedterminerlespointsdinCavec la droiteΔoitandqu´ey=x. 6)b)TracerCtie´runuihuqrgpa,enpntporena.cme4 23 Ondonnelesvaleursapproche´essuivantes(`a0,01pr`es):e'0,14ete'0,05
´ ` CONCOURS COMMUN SUP 2006 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES ´ Epreuvesp´eciquedeMath´ematiques(lie`reMPSI)
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