Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

Epita 1999 epreuve commune classe prepa mp epreuve commune 1999 classe prepa mp

2 pages
E.P.I.T.A. Mathématiques (Obligatoire : durée 3h) Ce problème a pour objectif l'étude de la transformation de Fourier discrète et son application à un algorithme rapide de multiplication des polynômes. Dans tout la suite, on désigne par N un nombre entier naturel non nul et on convient de noter n le nombre entier 2N et a le nombre complexe exp(2idn) = cos(2dn)+isin(2n/n). On appellera : ~~ polynôme associé à un n-uplet a = (ao, al, ... , a,!) de C" le polynôme A appartenant à C,,-l[Xl et défini par : n-1 A( X) = a, + al X + . . + an-l X"-' = zu,Xr r=O transformation de Fourier discrète l'application linéaire F, associant à tout n-uplet a de C" le n-uplet de C" défini à l'aide du polynôme A associé au n-uplet a par : &(a) = (A(1),A(Un),4U3, *-- ,A(u;-'N. L'espace C" est muni de sa norme usuelle, défini pour un Clément a = (ao, al, . . , a=l) par : 1 O) Etude du cas particulier n = 4. a) Expliciter l'image d'un quadruplet a = (ao, al, a2, al) de C4 par l'application F4. b) la matrice M4 de l'endomorphisme F4 dans la base canonique de C4, définie par : eo=(1,0,0,0), el=(0,1,0,0), - - e2=(0,0,1,0), e3=(0,0,0,1). c) Calculer le produit matriciel M, M4 où M, désigne la matrice d'ordre 4 dont les Cléments sont les Conjugués de ceux de la matrice M4. En déduire que F4 est inversible; préciser F4-I. d) Calculer enfin Mt et M44. 2") Etude du cas général. a) Etablir que l'application F, est bijective de C" dans C". b) Expliciter la matrice M, de ...
Voir plus Voir moins
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin