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E.P.I.T.A. Concours 2004 – Mathématiques (3 heures) __________________________________________
Dans ce problème, on étudie les équations intégrales de Volterra, qui s'écrivent sous la forme suivante oùf: [0, 1]Retk: [0, 1] x [0, 1]Rdésignent deux fonctions continues données, et oùu: [0, 1]Rest une fonction continue, inconnue ici, astreinte à vérifier pour 0 ≤x≤ 1 : x (1)u(x)k(x,t)u(t)dt=f(x). 0 Les trois premières questions sont consacrées à des cas particuliers de cette équation, tandis que la question 4 propose l'étude générale de l'existence et de l'unicité d'une solutionu.
x 1°) On posu(x)=(xt)u(t)dtpour 0 ≤x≤ 1 et pournN. eu0(x)=1, puisn+1n 0 a)Calculeru1(x),u2(x),u3(x), puis par récurrenceun(x). b)Calculer la sommeU(x) de la sérieu0(x) +u1(x) + … +un(x) + … n c)Calculer la sommeV(x) de la sérieu0(x) –u1(x) + … +(–1)un(x) + … d)Vérifier queUetVsont respectivement solutions des équations suivantes : x (2)u(x)(xt)u(t)dt=1. 0 x (3)u(x)(tx)u(t)dt=1. 0
x u xxx tu xdtu t 2°) On pose0( )=, puisn+1( )=()n( )pour 0 ≤x≤ 1 et pournN. 0 a)Calculer la sommeU(x) de la sérieu0(x) +u1(x) + … +un(x) + … n b)Calculer la sommeV(x) de la sérieu0(x) –u1(x) + … +(–1)un(x) + … c) VérifierqueUetVsont respectivement solutions des équations suivantes : x (4)u(x)(xt)u(t)dt=x. 0 x (5)u(x)(tx)u(t)dt=x. 0
x u xf xu tdt 3°) On pose0( )=( ), puisun+1(x)=λn( )pour 0 ≤x≤ 1 et pournN(oùλréel donné). 0 n+1 a)Vérifier par récurrence l'égalité suivante pour une fonctiong: [0, 1]R:de classe C n kn x x xt (k)()(n+1) g(x)=g(0)+g(t)dt. k!0n! k=0 b)Etudier les dérivées deun+1et en déduire que : n+1n x λ(xt) t un1(x)=f(t)d. n! + 0 c)En déduire alors (avec les justifications nécessaires) la sommeU(x) de la série de fonctions x u0(x) +u1(x) + … +un(xen fonction de) + …f(x), exp(λx) etexp(λt)f(t)dt. 0 d) Endéduire queUest solution de l'équation suivante : x (6)u(x)λu(t)dt=f(x). 0 e) Retrouvercette solution en résolvant une équation différentielle convenable.