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´ ´ EPREUVE OPTIONNELLE de MATHEMATIQUES
Dansceprobl`eme,onnoteD(a, bsemblensdivledesrocsiue`sdammnuientxeeuretunarssl)a,bou` (a, b)6=(0,peulgsar)0e,ltentdecetnd´el´emesneelbmD(a, b) est donc le PGCD deaetbae`lmerpbo.eL pourbutle´tudedelacomplexite´ducalculduPGCDdesentiersnaturelsaetbpar l’algorithme d’Euclide d´ecritci-dessous.One´tudiea`titrepr´eliminairelasuitedeFibonacci,quiestd´enieparF0= 0,F1= 1, et Fn+2=Fn+1+FnpournN.
1˚)anD(ciacnobiFedetiusaledlecalculn´etudieseitnoo,csteetuqFn). ´ a) Ecrireun algorithme de calcul deFnlorsque le nombre entiernno´nsedt.e b)Pre´ciserFnpourn612. 2˚)csnaDseuqetteuiasdeteboFiccna(ition,on´etudielepsorrp´itee´dsleFn). a) Prouverque (Fn) est une suite de nombres entiers naturels, strictement croissante pourn>2. b)De´terminerlessuitesg´eome´triques(unv)relatiolnari´entaun+2=un+1+un. c)De´terminerlexpressiondutermege´ne´ralFnde la suite de Fibonacci en fonction den. d)End´eduirelencadrementsuivantdeFndentelaviuqe´nusiup,Fnlorsquentend vers +:  !! ! ! nn 1 5+ 11 5+ 1 √ −16Fn6+ 1. 5 25 2
e)De´terminerledomaineded´enitionetlasommedelafonctiong´ene´ratrice: +P n F(x) =Fnx. n=0 3˚)i´etropruespuelqlbesnmeleee´dsttceueeqnsDaute´qeidoitsno,nD(a, b). a)Quelssontlese´le´mentsdeD(a,0) et le PGCD deaet de 0 poura>1 ? b) Montrer,sia=bq+r, queD(a, b) =D(b, r) et PGCD(a, b) = PGCD(b, r). c) Enremarquant queFk+2=Fk+1+Fknd,eGeCleiPreduD´deFn+1et deFnpournN. Onconsid`eredeuxnombresentiersnaturelsaetbtels quea > b >enuuqellepparnO0.edelit´´ega la formea=bq+rest la division euclidienne deaparbsiqetronsrelsv´eriantdtueextneisranut 06r < b, et que l’algorithme d’Euclide est la suite des divisions euclidiennes suivantes, poursuivies jusqua`lobtentiondunpremierrestenul,etdanslesquellesa0=aeta1=b: a0=q1a1+a2avec 0< a2< a1 a1=q2a2+a3avec 0< a3< a2 ...................................... an1=qnan+an+1avec 0< an+1< an an=qn+1an+1+an+2aveca2= 0 Onditalors,pluspre´cis´ement,quelalgorithmedEuclidepouraetbs’effectue enndivisions.+ 1 Lensembledecesnotationsestd´esormaisconserve´jusqu`alanduproble`me.
4˚)nacsteetDmedrithide.Euclitnoilaclaogedlemexunieppaedplnoitseuqdute´no, ´ a) Ecrirel’algorithme d’Euclide pourF3etF2, pourF4etF3, pourF5etF4. b)Prouverquel´egalite´Fk+2=Fk+1+Fkest la division euclidienne deFk+2parFk+1pourk>2. Ende´duirequelalgorithmedEuclidepourFn+2etFn+1s’effectue enndivisions euclidiennes.
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