Danstoutleproble`me,E´denelsegiR-espace vectorielR[Xsed]moˆnylopes`acoefficientsr´eesl. Pour tout entier natureln, on noteEnle sous-espace deElrsee´apofmruae´degresdenˆompoly pluse´gala`n. Selonl’usage,onconvientd’identifierunpolynˆomeetlafonctionpolynomialeassoci´ee. 2n L’espaceEnest muni de sa base canoniqueBn= 1, X, X, . . ., X. n! n Lescoefficientsbinomiauxsontnote´s=(06k6n). k k!(n−k)! ´ Partie A : Etude d’un endomorphisme ´ Etantdonn´eunpolynoˆmePdeEmeynˆonpolinut´dfie,noφ(P) par : 200 0 [φ(P)] (X) =X−1P(X) + 2XP(X). 1)semfieniunendaoamionrspihdi´efiqr’unoJsuitφdeE. 2)Montrer que, pour tout entier natureln, le sous-espace vectorielEnest stable parφ. Onnoterade´sormaisϕnl’endomorphisme deEninduit parφsurEn: ∀P∈En, ϕn(P) =φ(P) 3)Dans cette question, on suppose quen´tgese.3laa` ´ a) Ecrirela matriceM3deϕ3dans la base canonique deE3. b) Justifierqueϕ3est diagonalisable. c)D´eterminerunebasedeE3diagonalisantϕ3ffieocedsemoˆnylopdeeem´or,fmi-tsdocien nantse´gauxa`1. 4)ldrane’uientatrnneivcuat´gsae´nenOerrulenquelconque. a) Montrerque la matriceMndeϕnanecasabesueiqonlsnadeure´erietnaugttirsepualri pr´ecisersescoefficientsdiagonaux. b)Ende´duirequeϕndistecepasrpteelbasilanogaesdimens´eciserlssuo-sseoisnedes propres. ´ PartieB:Etuded’unefamilledepolynoˆmes Pour tout entier naturelnfie´dno,oleptlnimeˆoynLnpar n 1P 2 n n−k k Ln(X) =(X−1) (X.+ 1) n k 2 k=0 1)Cuclasrelsfoumeormpsifi´lismeˆoynolspleeeL0,L1,L2etL3. 2)CalculerLn(1) pour toutn∈N. 3)etmrDe´´egrdeerindeleLnen fonction den(n∈N) et donner son coefficient dominant sous la forme d’une somme. 4)En utilisant un changement d’indice, montrer queLnueeqlaeˆmaapem´tirn. 5)muledeerV´erifi`,laa’didelefaroLeibniz, que : n 1 dn 2 ∀n∈N, Ln(X) =X−1 . n n 2n! dX 6)tdomcientdeinanicilemeteltnffieocE´endirduxpeeLn, puis la relation n Pn2 2n ∀n∈N,= . k n k=0 7)Montrer alors que n 1 +|x| 2n ∀n∈N,∀x∈R,|Ln(x)|6. n 2 n 2 8)luterreanuttotient,niurponOfie´dnpelol,meynˆoUn(X) =X−1 .
2
a)Ve´rifierque: 20 X−1 Un(X) = 2nXUn(X). b)End´erivantn+ 1fois cette relation, montrer que ∀n∈N, φ(Ln) =n(n+ 1)Ln. PartieC:D´efinitiond’unproduitscalaire On pose Z 1 2 ∀(P, Q)∈E ,hP, Qi=P(x)Q(x) dx. −1 1)lairesuritefiJsuinaad´siuerqonl’iudoacstinfierpnuE. Danstoutelasuiteduproble`me,l’espaceEet ses sous-espacesEn(n∈N) serontsyst´ematiquementmunisdeceproduitscalaire. 2)quea) Montrer Z 1 2 20 0 ∀(P, Q)∈E ,hφ(P), Qi= (1−x)P(x)Q(x) dx. −1 b)Quepeut-ondirede´duirepourlesendomorphismesϕn(n∈N) ? c)End´eduire,`al’aided’unr´esultatdelapartieBeseselqu,omnˆlypoLp(p∈N) sont deux`adeuxorthogonaux. 3)Soitnun entier naturel. ´ a)Etablirparr´ecurrencesurkque Z k1k n−k (−d1) d 2n ∀k∈[|0, n|],hQ, Lni= [Q(x)] (x−1) dx. n kn−k 2n! dxdx −1 ∗ b)Ende´duireque,poourtoutn∈N,Lna`lanogestorthoEn−1. c)RetrouverainsiquelespolynˆomesLp(p∈Nontd)sadeueux`uxna.rtxogoho 2 ` 4)a) Al’aide deC.3)a), exprimer, pour tout entier natureln,kLnken fonction de Z 1 2n In= (x−1) dx. −1 ` b)Al’aided’uneinte´grationparparties,montrerque 2n+ 2 ∀n∈N, In+1=−In. 2n+ 3 c)End´eduire,pourtoutn∈N, une expression deInfaisant intervenir des factorielles. d)End´eduireque r 2 ∀n∈N,kLnk= . 2n+ 1 5)Donner, pour tout entier naturelndeonorm´eehtroesabenu,En. PartieD:Unerelationder´ecurrence Soitnun entier naturel non nul. n+1 1)Calculer le coefficient deXdans (n+ 1)Ln+1(X)−(2n+ 1)XLn(X). 2)stxiceenl’eticunEe´dnriude’letie´edn+r1e´lesαktels que n P (n+ 1)Ln+1(X)−(2n+ 1)XLn(X) =αkLk(X). k=0 hXLn, Lki 3)Montrer que∀k∈[|0, n|], αk=−(2n+ 1). 2 kLkk 4)Pour toutk∈[|0, n−2|ifierque],v´erhXLn, Lki=hLn, XLkipuis montrer queαk= 0. 5)edsnirapre´doitarqreuee,t´ntmodesconsiParαn= 0.
3
6)naltlisiuedrvalalynˆespoutEnomesLkniopd,1tete´nimralersorauαn−1. ∗ 7)´ddeiueruqeEn∀n∈N,(n+ 1)Ln+1(X)−(2n+ 1)XLn(X) +nLn−1(X) = 0. PartieE:Fonctionge´n´eratrice P n Onfixeunre´elt`eidlareonetnscoe`iterre´sneeiLn(t)x,delavaeelleirbael´rx. n∈N n P1 +|t| 2n n 1)reneeie`italedre´svergenceyondeconnireelarDe´etmrx. n 2 n∈N P n 2)ecnegrevnondecrayoueleireqe´udEdnRtre`etienieers´aledLn(t)xest strictement n∈N positif. On donnera une minoration deRtam,nosiclluelacre.erchnechas`aerap +∞ P n On noteSteeire´se:ere`itnomaslttcedeme∀x∈]−Rt, Rt[, St(x) =Ln(t)x n=0 3)astnel´rEunitileesultatdD.7), montrer queStest solution sur ]−Rt, Rtntaoie´uqed’l[ diff´erentiellesuivante,d’inconnueyfonction dex: 20 (Et) (1−2tx+x)y(x) + (x−t)y(x) = 0 4)Pour|t|<en1,reuiedd´serpxe’lednoisSt(x) en fonction dex. Partie F : Projection orthogonale, calcul de distance 1)Calculer, pour tout entier naturelkrglael,i’tne´ Z 1 k Jk=xdx. −1 ´ 2)selEtansneruratxueditnenodtse´nnetr, tels que 06r6n, on noteprla projection ortho-gonale deEnsur son sous-espace vectorielEr. Donneruneexpressiong´ene´raledepr(Puop,erialacstiudmeˆoynoltpourttu)sililtnaorpeP deEn. 3 3)sodeusppnOsrmai´eson= 3 etP=X. a)De´terminerp0(P),p1(P) etp2(P). b) Calculerles distancesd(P, Ek) dePaux sous-espaces vectorielsEkpour tout entierk tel que 06k62. 4)On noteGl’seenlembspdenyloemoˆdeds´rgee3etdecoefficientdmonina´tgelaa`.1 Montrer l’existence de Z 1 2 m(= minQ(x)) dx Q∈G −1 etpr´ecisersavaleur,ainsiquelespolynoˆmesre´alisantceminimum.