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Esc 2003 mathematiques classe prepa hec (stg) mathematiques 2003 classe prepa hec (stg)

3 pages
31231212, 911b1, 3b. 1392111, 0b01126123S4, 12b3n0S4n116Oliviernn0102116411624221121n13102313241316681631221n4311014110412103011481321611231221221164EXERCICE 1 ææ æ æ= = = et = . - -Ł ł Ł ł Ł łŁ ł-1 . -1 n ‡ . n n -1 ‡ = . n n næ æ æ æ- · + · - ·Ł ł Ł ł Ł łn n næ æ æn= - · + · - · . Ł ł Ł ł Ł łn n næ æ æ+ · - · + ·Ł ł Ł ł Ł łŁ łPartie B Au club de vacances « Les Flots Bleus », chaque jour, chaque enfant choisit une activité parmi trois possibilités : • • . • . n n n n= = = n n n n n ns . s s . n + 1 n + 1 n + 1 n n n et v en fonction de et v A l’aide de la formule des probabilités totales, exprimer 2) et ves de l’énoncé à l’aide des événements précédents. En particulier, on déterminera Traduire les donné 1)) P et ) V ( P v ) B ( P On note leurs probabilités ». choisit le ski nautique le jour Olivier « » et choisit la voile le jour « V », choisit le jeu de ballon le jour Olivier « B , on définit les événements Pour tout entier naturel non nul , ou change pour le ballon avec la probabilité la probabilité pour la planche à voile avec , change chaque enfant qui a choisi le ski nautique la veille reste fidèle à ce sport avec la probabilité change pour le ballon avec la probabilité ou chaque enfant qui a choisi la planche à voile la veille reste fidèle à ce sport avec la ...
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EXERCICE 1
Partie A
Soient les matrices
=
=
3
0
3
3
4
3
6
8
6
12
1
4
1
0
4
1
4
1
3
1
4
1
2
1
3
2
2
1
M
,
-
-
=
2
3
1
3
1
0
6
2
1
P
et
=
1
0
0
0
12
1
0
0
0
0
D
.
1) Montrer que la matrice
P
est inversible et calculer sa matrice inverse
1
-
P
.
2) Montrer que la matrice
MP
P
1
-
est diagonale et égale à
D
.
Déterminer
n
D
pour tout entier
1
n
.
3) Montrer par récurrence que, pour tout entier
1
n
:
1
-
=
P
PD
M
n
n
.
4) En déduire que, pour tout entier naturel non nul
n
:
×
+
×
-
×
+
×
-
×
+
×
-
×
-
×
+
×
-
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
M
12
1
9
2
12
1
24
2
12
1
9
2
12
1
3
3
12
1
8
3
12
1
3
12
1
6
6
12
1
16
6
12
1
6
6
3
11
1
.
Partie B : Probabilités
Au club de vacances « Les Flots Bleus », chaque jour, chaque enfant choisit une activité parmi trois possibilités :
un jeu de ballon sur la plage, la planche à voile ou le ski nautique. Olivier est l’un de ces heureux vacanciers.
On suppose que le premier jour, chaque enfant choisit au hasard. Ensuite , chaque jour :
chaque enfant qui a choisi le jeu de ballon la veille reste fidèle à ce sport avec la probabilité
2
1
, change
pour la planche à voile avec la probabilité
4
1
, ou change pour le ski nautique avec la probabilité
4
1
.
chaque enfant qui a choisi la planche à voile la veille reste fidèle à ce sport avec la probabilité
3
1
ou
change pour le ballon avec la probabilité
3
2
.
chaque enfant qui a choisi le ski nautique la veille reste fidèle à ce sport avec la probabilité
4
1
, change
pour la planche à voile avec la probabilité
4
1
, ou change pour le ballon avec la probabilité
2
1
.
Pour tout entier naturel non nul
n
, on définit les événements
n
B
«
Olivier
choisit le jeu de ballon le jour
n
»,
n
V
«
Olivier
choisit la voile le jour
n
» et
n
S
«
Olivier
choisit le ski nautique le jour
n
».
On note leurs probabilités
)
(
n
n
B
P
b
=
,
)
(
n
n
V
P
v
=
et
)
n
n
S
P
=
1) Traduire les données de l’énoncé à l’aide des événements précédents. En particulier, on déterminera
1
b
,
1
v
et
1
s
.
2) A l’aide de la formule des probabilités totales, exprimer
1
+
n
b
,
1
+
n
v
et
1
+
n
s
en fonction de
n
b
,
n
v
et
n
s
.
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