EXERCICE 1 On munit (IR) du produit scalaire canonique. On donne les matrices suivantes : 3,1Ø- 2 - 2 2 ø Ø 1 0 - 2ø Ø2ø Ø- 2øŒ œ Œ œ Œ œ Œ œ A = - 2 1 - 4 B = - 1 1 0 V = 2 V = 11 2Œ œ Œ œ Œ œ Œ œŒ 2 - 4 1 œ Œ 0 - 2 4 œ Œ1œ Œ 2 œº ß º ß º ß º ßO désigne la matrice colonne nulle d'ordre 3. I désigne la matrice identité ( matrice unité ) d'ordre 3. Lorsque l est une valeur propre d'une matrice carrée C , on notera E (l) le sous-espace propre associé. CSoit l'application f de (IR ) définie pour toute matrice M de (IR ) par f(M) = BM - MA. 3 31. (a) Montrer que les valeurs propres de A sont -3 et 6. Déterminer E (-3) et E (6) . A A(b) Montrer que 0 est valeur propre de B et déterminer E (0) . Montrer que E (0) Ì E (-3) . B B A(c) Montrer que 3 est valeur propre de B et déterminer E (3) . Montrer que E (3) Ì E (-3) . B B A(d) Montrer que (V ,V ) est une base orthogonale de E (-3) formée de vecteurs propres de B. 1 2 AVEn déduire une matrice colonne d'ordre 3 notée et de première coordonnée égale à 1 3telle que (V V V ) soit une base orthogonale de IR formée de vecteurs propres de A . , , ( )1 2 3 3,1(e) Exprimer BV en fonction de V et V . 3 2 30 0 0Ø øŒ œEn déduire que la matrice B est semblable à la matrice 0 3 3 . Œ œŒ œ0 0 3º ß2. (a) Montrer que f est un endomorphisme de (IR) . 3(b) Soit H une matrice carrée d'ordre 3 élément de Ker ( f ). Montrer que (B + 3I )HV = O , (B + 3I )HV = O et (B - ...