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Esc 2004 mathematiques classe prepa hec (stg) mathematiques 2004 classe prepa hec (stg)

3 pages
EXERCICE 1 2 0 0æ öæ - 5 6 3ö æ 1 0 0ö æ1 1 1 öç ÷1 ç ÷ ç ÷ ç ÷On donne les matrices : A = - 3 4 3 , I = 0 1 0 , D = 0 -1 0 et P = 1 0 1 . ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷- 3 6 1 0 0 1 1 1 -1Ł ł Ł ł 0 0 -1 Ł łŁ łPartie A -1æ öæ 1 ö ç 2 ÷ç ÷-1 ç ÷1. Montrer que la matrice P est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que P 0 = 1 . ç ÷ç ÷ç ÷ 1ç ÷0Ł ł Ł 2 łn2. (a) Donner D en fonction de n pour tout entier naturel n. 1æ öç ÷n -1 (b) En déduire l'expression de D P 0 en fonction de n. ç ÷ç ÷0Ł ł-1 n n -13. (a) Vérifier que A = PDP puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : A = PD P . 1æ öç ÷n(b) En déduire l’expression de A 0 en fonction de n pour tout entier naturel n. ç ÷ç ÷0Ł ł Partie B Les suites ( x ), ( y ) et ( z ) sont définies par les conditions initiales x = 1, y = 1 et z = 0 n n n 0 005 3ì x = - x + 3y + z - 3n +1 n n nï 2 2ï 3 3et par les égalités : pour tout entier naturel n. y = - x + 2y + z - 1í n +1 n n n2 2ï3 1ï z = - x + 3y + z - 3n +1 n n nî 2 2æ öæ - 3ö xnç ÷ç ÷On pose B = -1 et pour tout entier naturel n : X = ç y ÷ . ç ÷ n nç ÷ç ÷- 3 zŁ ł Ł n ł 1. Justifier pour tout entier naturel n l’égalité : X = AX + B relation (1) n +1 n 2. On se propose de trouver la matrice colonne U ˛ (IR) telle que : U = AU + B relation (2) 3,1 (a) Montrer que la relation (2) équivaut à (I - A)U = B . 0æ öç ÷ (b) Calculer la matrice A(I - A) . En déduire ...
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EXERCICE 1
On donne les matrices :
-
-
-
=
1
6
3
3
4
3
3
6
5
2
1
A
,
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
I
,
-
-
=
1
0
0
0
1
0
0
0
2
D
et
-
=
1
1
1
1
0
1
1
1
1
P
.
Partie A
1. Montrer que la matrice
P
est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que
=
-
-
2
1
2
1
1
1
0
0
1
P
.
2.
(a) Donner
n
D
en fonction de
n
pour tout entier naturel
n
.
(b) En déduire l'expression de
-
0
0
1
1
P
D
n
en fonction de
n
.
3.
(a) Vérifier que
1
-
=
PDP
A
puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel
n
:
1
-
=
P
PD
A
n
n
.
(b) En déduire l’expression de
0
0
1
n
A
en fonction de
n
pour tout entier naturel
n
.
Partie B
Les suites (
n
x
), (
n
y
) et (
n
z
) sont définies par les conditions initiales
1
0
=
x
,
1
0
=
y
et
0
0
=
z
et
par les égalités :
-
+
+
-
=
-
+
+
-
=
-
+
+
-
=
+
+
+
3
2
1
3
2
3
1
2
3
2
2
3
3
2
3
3
2
5
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
y
x
z
z
y
x
y
z
y
x
x
pour tout entier naturel
n
.
On pose
-
-
-
=
3
1
3
B
et pour tout entier naturel
n
:
=
n
n
n
n
z
y
x
X
.
1.
Justifier pour tout entier naturel
n
l’égalité :
B
AX
X
n
n
+
=
+
1
relation (1)
2.
On se propose de trouver la matrice colonne
)
(
1
,
3
R
I
U
telle que :
B
AU
U
+
=
relation (2)
(a)
Montrer que la relation
(2)
équivaut à
B
U
A
I
=
-
)
(
.
(b)
Calculer la matrice
)
(
A
I
A
-
. En déduire que :
AB
U
=
-
2
puis , que
=
0
1
0
U
.
3.
(a)
A l’aide de s relations
(1)
et
(2)
, montrer que :
)
(
1
U
X
A
U
X
n
n
-
=
-
+
.
(b)
En déduire, par récurrence, que pour tout entier naturel
n
on a
:
)
(
0
U
X
A
U
X
n
n
-
=
-
.
4. En utilisant l’expression obtenue dans la
partie A
, question 3(b) , calculer
n
x
,
n
y
et
n
z
, en fonction de
n
.
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