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EXERCICE 1
On donne les matrices :
-
-
-
=
1
6
3
3
4
3
3
6
5
2
1
A
,
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
I
,
-
-
=
1
0
0
0
1
0
0
0
2
D
et
-
=
1
1
1
1
0
1
1
1
1
P
.
Partie A
1. Montrer que la matrice
P
est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que
=
-
-
2
1
2
1
1
1
0
0
1
P
.
2.
(a) Donner
n
D
en fonction de
n
pour tout entier naturel
n
.
(b) En déduire l'expression de
-
0
0
1
1
P
D
n
en fonction de
n
.
3.
(a) Vérifier que
1
-
=
PDP
A
puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel
n
:
1
-
=
P
PD
A
n
n
.
(b) En déduire l’expression de
0
0
1
n
A
en fonction de
n
pour tout entier naturel
n
.
Partie B
Les suites (
n
x
), (
n
y
) et (
n
z
) sont définies par les conditions initiales
1
0
=
x
,
1
0
=
y
et
0
0
=
z
et
par les égalités :
-
+
+
-
=
-
+
+
-
=
-
+
+
-
=
+
+
+
3
2
1
3
2
3
1
2
3
2
2
3
3
2
3
3
2
5
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
y
x
z
z
y
x
y
z
y
x
x
pour tout entier naturel
n
.
On pose
-
-
-
=
3
1
3
B
et pour tout entier naturel
n
:
=
n
n
n
n
z
y
x
X
.
1.
Justifier pour tout entier naturel
n
l’égalité :
B
AX
X
n
n
+
=
+
1
relation (1)
2.
On se propose de trouver la matrice colonne
)
(
1
,
3
R
I
U
telle que :
B
AU
U
+
=
relation (2)
(a)
Montrer que la relation
(2)
équivaut à
B
U
A
I
=
-
)
(
.
(b)
Calculer la matrice
)
(
A
I
A
-
. En déduire que :
AB
U
=
-
2
puis , que
=
0
1
0
U
.
3.
(a)
A l’aide de s relations
(1)
et
(2)
, montrer que :
)
(
1
U
X
A
U
X
n
n
-
=
-
+
.
(b)
En déduire, par récurrence, que pour tout entier naturel
n
on a
:
)
(
0
U
X
A
U
X
n
n
-
=
-
.
4. En utilisant l’expression obtenue dans la
partie A
, question 3(b) , calculer
n
x
,
n
y
et
n
z
, en fonction de
n
.