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Escp eap 2001 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 2001 classe prepa hec (ecs)

4 pages
E.S.C.P. - E.A.P. 2001, math 1, option scientifique.L’objetduprobl`emeestl’´etude,danscertainscas,dessous-espacesstablesparunendomorphismed’un espace vectoriel.Dans tout le probl`eme, on consid`ere un entier natureln non nul et on noteE leR-espace vectorielnR . On note 0 le vecteur nul de E et Id l’endomorphisme identit´e de E. On dira qu’un sous-E Eespace vectoriel F de E est stable par un endomorphisme f de E (ou que f laisse stable F) sil’inclusion f(F)⊂F est v´erifi´ee.On observera que le sous-espace vectoriel r´eduit a` {0 } et E lui-mˆeme sont stables par toutEendomorphisme de E.On noteR[X] l’espace vectoriel des polynomeˆ s a` coefficients r´eels et, pour tout entier naturel k,on noteR [X] le sous-espace vectoriel form´e par les ´el´ements deR[X] qui sont de degr´e inf´erieurkou ´egal `a k.0 1 2 3Si f est un endomorphisme de E on pose f =Id , f =f, f =f ◦f, f =f ◦f ◦f, etc.EnXkSi f est un endomorphisme de E et si P = a X est un ´el´ement deR[X], on rappelle qu’onkk=0nXknote P(f) l’endomorphisme de E ´egal a` P(f) = a f .kk=0Partie I : Pr´eliminairesSoit f un endomorphisme de E.1) Soit P un ´el´ement deR[X]. Montrer que le sous-espace vectoriel KerP(f) est stable par f.2)a)Montrer que les droites de E stables par f sont exactement celles qui sont engendr´ees parun vecteur propre de l’endomorphisme f.3 3b)On note B = (e ,e ,e ) la base canonique deR et on consid`ere l’endomorphisme g deR1 2 3dont la matrice dans la base B est 1 1 0 B = ...
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E.S.C.P. - E.A.P. 2001, math 1, option scientifique.
Lobjetduprobl`emeestl´etude,danscertainscas,dessous-espacesstablesparunendomorphisme d’un espace vectoriel. Danstoutleproble`me,onconsid`ereunentiernaturelnnon nul et on noteEleR-espace vectoriel n R. On note 0Ele vecteur nul deEetIdEihpriemstnede´tideenlmodoE. On dira qu’un sous-espace vectorielFdeEest stable par un endomorphismefdeE(ou queflaisse stableF) si l’inclusionf(F)F.eese´etv´ri Onobserveraquelesous-espacevectorielre´duita`{0E}etEabstntsomeˆe-muilturaotelps endomorphisme deE. On noteR[Xoeacs`mesrntiec,teslee´tuotruop]leevecspacleedotirnyoˆpsloentiernaturelk, on noteRk[Xsp-eevactoecelrimrofape´selr´le´stedmene]elossuR[Xuqsi]rueirnf´er´eiedegontd oue´gala`k. 0 12 3 Sifest un endomorphisme deEon posef=IdE,f=f,f=ff,f=fff, etc. n X k Sifest un endomorphisme deEet siP=akXtseme´le´nueentdR[X], on rappelle qu’on k=0 n X k noteP(f´Eedlagea`e)lomndphormeisP(f) =akf. k=0
PartieI:Pr´eliminaires
Soitfun endomorphisme deE. 1)SoitPundtemenee´´lR[X]. Montrer que le sous-espace vectoriel KerP(f) est stable parf. 2)a)Montrer que les droites deEstables parfsontectleelqsaxtcmenendgeeer´souienntraps un vecteur propre de l’endomorphismef. 3 3 b)On noteB= (e1, e2, e3) la base canonique deRcnnois`dreleednoomtoerphismegdeR dont la matrice dans la baseBest   1 1 0   B1 0= 0 0 0 2 3 De´terminer(enendonnantunebase)lesdroitesdeRstables parg. 3)Soitpun entier naturel non nul. a)SiF1, . . . , Fpsontpsous-espaces vectoriels deEstables parf, montrer qu’alors la somme p X Fkest un sous-espace vectoriel stable parf. k=1 b)Siλ1, . . . , λpsontpvaleurs propres defet sin1, . . . , npsontpentiers naturels montrer p X nk qu’alors la sommeKer(fλkIdE) eststable parf. k=1 4)a)Soitaleuerqeri´e.Velcevsecapse-suossetorielsdrne´uEstables par un endomorphisme fsont exactement ceux qui sont stables par l’endomorphismefλIdE. b)Quel lien y-a-t-il entre les sous-espaces vectoriels stables par un endomorphismefet ceux 2 qui sont stables par l’endomorphismef? c)Quel lien y-a-t-il entre les sous-espaces vectoriels stables par un automorphismefet ceux 1 qui sont stables par l’endomorphismef? d)Que dire d’un endomorphisme deElaissant stable tout sous-espace vectoriel deE? 2 e)Donner un exemple d’endomorphisme deRne laissant stable que le sous-espace vectoriel 2 r´eduitauvecteurnuletlespaceR. 5)a)e´ialenireruslequppelformunearnOEeriae´niseedplapnetunlioaticEdansRet qu’un hyperplan deEest un sous-espace vectoriel deEde dimensionn1.
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