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E.S.C.P. - E.A.P. 2001, math 1, option scientifique.
Lobjetduprobl`emeestl´etude,danscertainscas,dessous-espacesstablesparunendomorphisme d’un espace vectoriel. Danstoutleproble`me,onconsid`ereunentiernaturelnnon nul et on noteEleR-espace vectoriel n R. On note 0Ele vecteur nul deEetIdEihpriemstnede´tideenlmodoE. On dira qu’un sous-espace vectorielFdeEest stable par un endomorphismefdeE(ou queflaisse stableF) si l’inclusionf(F)F.eese´etv´ri Onobserveraquelesous-espacevectorielre´duita`{0E}etEabstntsomeˆe-muilturaotelps endomorphisme deE. On noteR[Xoeacs`mesrntiec,teslee´tuotruop]leevecspacleedotirnyoˆpsloentiernaturelk, on noteRk[Xsp-eevactoecelrimrofape´selr´le´stedmene]elossuR[Xuqsi]rueirnf´er´eiedegontd oue´gala`k. 0 12 3 Sifest un endomorphisme deEon posef=IdE,f=f,f=ff,f=fff, etc. n X k Sifest un endomorphisme deEet siP=akXtseme´le´nueentdR[X], on rappelle qu’on k=0 n X k noteP(f´Eedlagea`e)lomndphormeisP(f) =akf. k=0
PartieI:Pr´eliminaires
Soitfun endomorphisme deE. 1)SoitPundtemenee´´lR[X]. Montrer que le sous-espace vectoriel KerP(f) est stable parf. 2)a)Montrer que les droites deEstables parfsontectleelqsaxtcmenendgeeer´souienntraps un vecteur propre de l’endomorphismef. 3 3 b)On noteB= (e1, e2, e3) la base canonique deRcnnois`dreleednoomtoerphismegdeR dont la matrice dans la baseBest   1 1 0   B1 0= 0 0 0 2 3 De´terminer(enendonnantunebase)lesdroitesdeRstables parg. 3)Soitpun entier naturel non nul. a)SiF1, . . . , Fpsontpsous-espaces vectoriels deEstables parf, montrer qu’alors la somme p X Fkest un sous-espace vectoriel stable parf. k=1 b)Siλ1, . . . , λpsontpvaleurs propres defet sin1, . . . , npsontpentiers naturels montrer p X nk qu’alors la sommeKer(fλkIdE) eststable parf. k=1 4)a)Soitaleuerqeri´e.Velcevsecapse-suossetorielsdrne´uEstables par un endomorphisme fsont exactement ceux qui sont stables par l’endomorphismefλIdE. b)Quel lien y-a-t-il entre les sous-espaces vectoriels stables par un endomorphismefet ceux 2 qui sont stables par l’endomorphismef? c)Quel lien y-a-t-il entre les sous-espaces vectoriels stables par un automorphismefet ceux 1 qui sont stables par l’endomorphismef? d)Que dire d’un endomorphisme deElaissant stable tout sous-espace vectoriel deE? 2 e)Donner un exemple d’endomorphisme deRne laissant stable que le sous-espace vectoriel 2 r´eduitauvecteurnuletlespaceR. 5)a)e´ialenireruslequppelformunearnOEeriae´niseedplapnetunlioaticEdansRet qu’un hyperplan deEest un sous-espace vectoriel deEde dimensionn1.