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Concours ESCP 2001 option
´
economique
Mathematiques III
Exercice 1
A.
On consid`ere la matrice
d´efinie par:
et on note
l’endomorphisme de
repr´esent´
e
p
a
r
dans la base canonique.
1. a)
Montrer que
admet les valeurs propres 1 et 2 et n’en admet pas d’autre.
D´eterminer les sous-espaces propres
et
associ´es `a ces valeurs propres
b)
La matrice
est-elle diagonalisable?
2.
Soit
un vecteur propre de
associ´
e
`a la valeur propre 1. Trouver un vecteur
de
tel
que
.
3.
Soit
un vecteur propre de
associ´
e
`a la valeur propre 2. Montrer que la famille
est une base de
.
4.
D´eterminer la matrice
repr´esentant l’endomorphisme
dans la base
ainsi qu’une
matrice inversible
telle qu’on ait l’´egalit´e
.
B.
´
Etant donn´ees les matrices
on associe `a tout ´el´ement
de
la matrice
d´efinie par:
On note
l’ensemble des matrices
o`u
d´ecrit
.
1.
Montrer que
est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel
des matrices carr´ees
d’ordre 3 et d´eterminer sa dimension.
2.
V´erifier que la matrice
d´efinie en A.4 appartient `a
.
3.
Pr´eciser les conditions que doivent v´erifier
pour que
soit inversible. D´eterminer,
quand elle existe, sa matrice inverse.
4.
D´eterminer les valeurs propres de
.
Montrer que cette matrice est diagonalisable si et seulement si
est nul.
1
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