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ÉCOLE SUPÉRIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉES
MATHÉMATIQUES 1ère ÉPREUVE
OPTIONS : ECONOMIQUE
EXERCICE 1 On noteRlensemble des nombres réels etNcelui des nombres entiers naturels.On considère la fonctionf:R!R dénie par la formule suivante : 1 f(x(exp() =x) + exp(x)): 5 On rappelle que2;716e62;72 1. Etudierles variations def, donner sa représentation graphique et préciser la nature des branches innies de celle-ci. 1 2. Résoudreléquation :f(x) = 2 1 3. Résoudrelinéquation :f(x)6 2 1 2 4. CalculerlaireAdu domaine =f(x; y)2R= f(x)6y6g 2 5. Onappelle point xe deftout nombretel quef() =se propose détudier les points xes de. Onf par le biais dune fonction auxiliairegdénie parg(x) =f(x)x.
0 00 (a) Donnerle tableau de variation de la dérivéegdegaprès étude du signe de la dérivée secondeg. 0 (b) Endéduire quil existe un uniquet2Rtel queg(t) = 0, sans essayer de le calculer. (c) Encadrertentre deux entiers consécutifs. (d) Calculert. 0 (e) Donnerle tableau de signe degpuis dresser le tableau des variations deg. Montrerquegadmet un minimum strictement négatif. (f) Endéduire quefadmet exactement deux points xes.
6. Onse restreindra désormais à lintervalleI= [0;1]. Montrerquefnadmet quun seul point xe2I.
7. Montrerque lintervalleIest stable parf.
8. Ondénit une suite par la donnée deu02Iet la relation de récurrenceun+1=f(un)pour toutn2N. Démontrer que lesunappartiennent tous àI. 1 0 9. Démontrerque :8x2I;jf(x)j6: 2 1 10. Endéduire que8n2N;jun+1j6junj. Acheverlétude de(un). 2
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