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Espci 2001 deuxieme composition de mathematiques classe prepa pc deuxieme composition de mathematiques 2001 classe prepa pc

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES FILIkRE Pc CONCOURS D’ADMISSION 2001 DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. *** Les propriétés démontrées dans ce problème ont des applications à la mécanique classique et quantique et à l’optique géométrique. *** Pour tout entier p 2 1, on désigne par M, l’espace vectoriel des matrices réelles à p lignes et p colonnes, et l’on désigne par Ip la matrice unité de M,. Si M E M,, on note M l’endomorphisme / de RP de matrice A4 dans la base canonique. La transposée d’une matrice M est notée tM. On note ( 1 ) le produit scalaire canonique et 11 11 la norme euclidienne de RP. Pour tout entier pair n = 2~72, on considère la matrice J E Marri définie par blocs par Premihe partie Matrices symplectiques 1. On fixe l’entier pair n = 2m. On appelle m@rice symplectique toute matrice M E Mzrn telle que tMJM=J. a) Que peut-on dire du déterminant d’une matrice symplectique? b) L’ensemble des matrices symplectiques est-il un groupe pour la multiplication? c) La matrice J est-elle symplectique? d) La transposée d’une matrice symplectique est-elle symplectique ? 1 2. On écrit toute matrice M E Mam par blocs, M = a) Montrer que la matrice M est symplectique si et seulement si les matrices A, B, C, D vérifient les conditions tAC et ‘BO sont symétriques , tAD - %‘B = Im . b) Montrer que si D est ...
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