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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION
Option scientifique
MATHEMATIQUES I
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreropudbisselele´rsnsdamelaresucllu.ssultatsdeleursca Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdele´preuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurd´enonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamene´`aprendre.
Danstoutceprobl`eme,onde´signepar: a)Eun espace euclidien de dimensionp>1 dans lequel le produit scalaire de deux vecteursxety´eottnes < x,y >. b)S(Eseysihmsiruq´mteldesoriemorpendosel)tcevecapdeesE. On rappelle qu’un endomorphismeuest dit sym´etriquesilv´erie< u(x),y >=< x,u(y)>pour tout couple (x,y`anantarteasppetruveced)E. c)T(E) le sous-ensemble deS(Eriquesessym´etomprihmsdeseneodstonu´it)cugestinf´dontleranreeiruuo e´gal`a1etquiv´erient< u(x),x >>0 pour tout vecteurxrtenappaana`tE. Dans lapartie I,ppraetantna`leitcr´endoasemsihpromodnesT(E) puis, dans lapartie II,on munit l’espace vectorielS(Erpdodnuacaliustton´ireeieauetudaledsnesssaemronleeei´oceulleismsedsmaxiontisareropp) e´le´mentsdeS(Enestedes´el´em)pardT(E).
Pr´eliminaire:Tracedunematriceetdunendomorphisme. Ond´esigneparMp(R)esldtrmaesicrrcaselecaptceveirodree´se´reellsedrop>1.Onassociemetuota`ecirta = (ai,jpp)aa`ntnatearMp(Rtr(t´ees)econtaarAr´:en)ieetpda p X tr(A) =ak,k=a1,1+a2,2+∙ ∙ ∙+ap,p k=1 a. SiA= (ai,j) etB= (bi,ja´d)deuxmatresignenttrnena`tcisepaapMp(R), expliciter tr(AB) et montrer que tr(AB) = tr(BA). 0 0 b. SiMetMxuedtnensecirtambllambsertpaapesnena`taesigd´Mp(Rdsece)e,dn´eduirequelestraMet Mlegas.ose´tn Dans la suite, on appelletrace d’un endomorphismedeEla valeur commune de la trace de ses matricesM relativementauxdie´rentesbasesdeE.
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PartieI:Etudedes´ele´mentsdelensembleT(E). 1.Sous-espaceorthogonala`unvecteurnonnulxdeE. Onconside`redanscettequestionunvecteurnonnulxppaa`antnraetE. (a) Pourtout vecteurva`tnarappanetE, exprimer en fonction dexetvnuqieuonllmbrer´eeλ(v) tel que le vecteurvλ(v)xtrohogansiootal`x. (b) Enremarquant que tout vecteurvnt`atenapparaEerosceirst´puee:rmfolaus v=λ(v)x+ (vλ(v)x) (1) e´tablirqueladroitedirig´eeparlevecteurxet le sous-espaceXcotins´etuceetedvserudsEorthogonaux au vecteurxsdreaintsanstnoseme´lppuE. 2.Ele´mentdeT(Ess)adecevnruet´icoua`eE. A tout vecteur non nulxdeE, on associe l’applicationux, deEdansEe´dar:niep ux(v) =< x,v > x (a) Montrer queuxpatraptneia`T(Eamrtcidee,p)s´uirieclareuxdans une base deEudee´uconstit vecteurxet d’une base du sous-espaceXol`aogantrohx. End´eduirelatracedeuxet la trace deuxuxen fonction dex. (b)D´eterminerenfonctiondexles valeurs propres et les sous-espaces propres deux. (c)Onde´signeparfun endomorphisme deE. Alaidedelaformule(1),expliciterles´ele´mentsdiagonauxdelamatricedefux, dans une base de Eu´itdueectvereuctsnoxet d’une base du sous-espaceXogohtroanal`xnd´euise,pedarecletaudri fuxen fonction dex. 3. VecteursdeEun´el´emoci´es`assanedteT(E). Atout´ele´mentnonnuludeT(E), on associe un vecteur non nulxde la droite Imu. (a) Montrerquexest vecteur propre deuuqlevalaueprorrpeassoci´eeetµest positive. (b) Al’aide de la formule (1), montrer que l’on a pour tout vecteurvetanppratnaa`E: µ u(v) =< x,v > x 2 kxk (c)Ende´duirequelavaleurpropreµest strictement positive et qu’il existe un vecteurydeEau moins tel queu=uyurteectvc,telqdire-`a-esttruoptuonoiaeulvtearppaa`tnanE: u(v) =< y,v > y (d) L’applicationdeEdansT(Eteuras)osicna`ttauovtcexappartenanta`El’endomorphismeuxdeT(E) de´niparux(v) =< x,v > xest-elle injective? surjective?
PartieI:Approximationdes´ele´mentsdeS(E)see´´lmeapdrdetsenT(E). Onassociea`toutcouple(f,gantnar`aetasppsiemorphndom)deS(E)eleel:er´ronbm [f,g] = tr(fg) valeur commune de la trace des matrices defgrletavimeentauxdi´erentesabsedseE. Ainsi, lorsque l’espace euclidienErappestparesroenab`euaro´tlansdalemaoronthengise´dnoelleuqA= (ai,j) etB= (bi,jamrtcisel)seetm´qurilo(asyrsd)seefetg:, on a [f,g] = tr(AB) 1. Unproduit scalaire sur S(E). (a)Montrerquelapplicationassocianta`toutcouple(f,gnant`ae)domndrohpsiemasppraetS(E) le nombre re´el[f,g] = tr(fg) est un produit scalaire surS(E). p On noteraNeriae´d,tiudlacsace`roepsoas´eciroemlnanieparN(f) =[f,f].
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