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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION
Option scientifique
MATHEMATIQUES I
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreropudbisselele´rsnsdamelaresucllu.ssultatsdeleursca Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdele´preuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurd´enonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamene´`aprendre.
Danstoutceprobl`eme,onde´signepar: a)Eun espace euclidien de dimensionp>1 dans lequel le produit scalaire de deux vecteursxety´eottnes < x,y >. b)S(Eseysihmsiruq´mteldesoriemorpendosel)tcevecapdeesE. On rappelle qu’un endomorphismeuest dit sym´etriquesilv´erie< u(x),y >=< x,u(y)>pour tout couple (x,y`anantarteasppetruveced)E. c)T(E) le sous-ensemble deS(Eriquesessym´etomprihmsdeseneodstonu´it)cugestinf´dontleranreeiruuo e´gal`a1etquiv´erient< u(x),x >>0 pour tout vecteurxrtenappaana`tE. Dans lapartie I,ppraetantna`leitcr´endoasemsihpromodnesT(E) puis, dans lapartie II,on munit l’espace vectorielS(Erpdodnuacaliustton´ireeieauetudaledsnesssaemronleeei´oceulleismsedsmaxiontisareropp) e´le´mentsdeS(Enestedes´el´em)pardT(E).
Pr´eliminaire:Tracedunematriceetdunendomorphisme. Ond´esigneparMp(R)esldtrmaesicrrcaselecaptceveirodree´se´reellsedrop>1.Onassociemetuota`ecirta = (ai,jpp)aa`ntnatearMp(Rtr(t´ees)econtaarAr´:en)ieetpda p X tr(A) =ak,k=a1,1+a2,2+∙ ∙ ∙+ap,p k=1 a. SiA= (ai,j) etB= (bi,ja´d)deuxmatresignenttrnena`tcisepaapMp(R), expliciter tr(AB) et montrer que tr(AB) = tr(BA). 0 0 b. SiMetMxuedtnensecirtambllambsertpaapesnena`taesigd´Mp(Rdsece)e,dn´eduirequelestraMet Mlegas.ose´tn Dans la suite, on appelletrace d’un endomorphismedeEla valeur commune de la trace de ses matricesM relativementauxdie´rentesbasesdeE.
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