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ESSEC 1999 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

4 pages
ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption scientifiqueMATHEMATIQUES ILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.Dans tout ce probl`eme, on d´esigne par:a) E un espace euclidien de dimension p> 1 dans lequel le produit scalaire de deux vecteurs x et y est not´e.b) S(E) l’espace vectoriel des endomorphismes sym´etriques de E. On rappelle qu’un endomorphisme u est ditsym´etrique s’il v´erifie = pour tout couple (x,y) de vecteurs appartenant `a E.c) T(E) le sous-ensemble de S(E) constitu´e des endomorphismes sym´etriques u dont le rang est inf´erieur ou´egal `a 1 et qui v´erifient > 0 pour tout vecteur x appartenant a` E.Dans la partie I, on d´ecrit les endomorphismes appartenant a` T(E) puis, dans la partie II, on munit l’espacevectoriel S(E) d’un produit scalaire et on ´etudie au sens de la ...
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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION
Option scientifique
MATHEMATIQUES I
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreropudbisselele´rsnsdamelaresucllu.ssultatsdeleursca Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdele´preuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurd´enonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamene´`aprendre.
Danstoutceprobl`eme,onde´signepar: a)Eun espace euclidien de dimensionp>1 dans lequel le produit scalaire de deux vecteursxety´eottnes < x,y >. b)S(Eseysihmsiruq´mteldesoriemorpendosel)tcevecapdeesE. On rappelle qu’un endomorphismeuest dit sym´etriquesilv´erie< u(x),y >=< x,u(y)>pour tout couple (x,y`anantarteasppetruveced)E. c)T(E) le sous-ensemble deS(Eriquesessym´etomprihmsdeseneodstonu´it)cugestinf´dontleranreeiruuo e´gal`a1etquiv´erient< u(x),x >>0 pour tout vecteurxrtenappaana`tE. Dans lapartie I,ppraetantna`leitcr´endoasemsihpromodnesT(E) puis, dans lapartie II,on munit l’espace vectorielS(Erpdodnuacaliustton´ireeieauetudaledsnesssaemronleeei´oceulleismsedsmaxiontisareropp) e´le´mentsdeS(Enestedes´el´em)pardT(E).
Pr´eliminaire:Tracedunematriceetdunendomorphisme. Ond´esigneparMp(R)esldtrmaesicrrcaselecaptceveirodree´se´reellsedrop>1.Onassociemetuota`ecirta = (ai,jpp)aa`ntnatearMp(Rtr(t´ees)econtaarAr´:en)ieetpda p X tr(A) =ak,k=a1,1+a2,2+∙ ∙ ∙+ap,p k=1 a. SiA= (ai,j) etB= (bi,ja´d)deuxmatresignenttrnena`tcisepaapMp(R), expliciter tr(AB) et montrer que tr(AB) = tr(BA). 0 0 b. SiMetMxuedtnensecirtambllambsertpaapesnena`taesigd´Mp(Rdsece)e,dn´eduirequelestraMet Mlegas.ose´tn Dans la suite, on appelletrace d’un endomorphismedeEla valeur commune de la trace de ses matricesM relativementauxdie´rentesbasesdeE.
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