ESSEC 2000 mathematiques iii classe prepa hec (ece)

Description

ESSECCONCOURS D’ADMISSION 2000Option ´economiqueMath´ematiques IIIMardi 9 Mai 2000 de 8h `a 12h——————————————La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entrerontpour une part importante dans l’appr´eciation des copies. Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possibleles r´esultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de toutmat´eriel ´electronique est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE 1 (Fonction de production de Cobb-Douglas)Une entreprise produit des biens B dont la fabrication n´ecessite :• un certain volume d’heures de travail, d´esign´e par x dans la suite (avec x> 0).• un certain volume d’´equipements, d´esign´e par y dans la suite (avec y > 0).On suppose que la quantit´e de biens B produits avec un volume d’heures de travail ´egal a` x et un volumed’´equipements ´egal a` y est :a bf(x,y) =x you` a, b d´esignent deux nombres r´eels tels que 0 0 le volume x des heures de travail et le volume y des´equipements. Par quel facteur est multipli´ee la ...

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ESSEC CONCOURS D’ADMISSION 2000 Option´economique Mathe´matiquesIII Mardi9Mai2000de8ha`12h ——————————————

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualite´delar´edaction,laclart´eetlapre´cisiondesraisonnementsentreront pourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossible lesr´esultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetout mate´riel´electroniqueestinterdite.Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautoris´ee.

EXERCICE 1 (Fonction de production de Cobb-Douglas) UneentrepriseproduitdesbiensBdontlafabricationne´cessite: •ncutaerovniemuleh’dserusegi,l´dvaiaedrtarn´epxdans la suite (avecx >0). •cnu´ed’meluvointaerstd,e´isuqpimenegn´eparydans la suite (avecy >0). Onsupposequelaquantit´edebiensBproduitsavecunvolumed’heuresdetravail´egala`xet un volume d’e´quipementse´gala`yest : a b f(x, y) =x y o`ua,bsegientnedxuonbmd´0euqsletslee´rser< a <1 et 0< b <1. Onsupposeenfinlecouˆthorairedutravaile´gala`u´sgelaa`iuepemtndereeqs´unutaiitlteˆocevde sorte que le coˆutdelaproductiona`volumesdetravailetd’´equipementsxetye´nntses:od g(x, y) =ux+vy. 1.Rendementd’e´chellea+b. Onmultiplieparunemeˆmeconstanteλ >0 le volumexdes heures de travail et le volumeydes ´equipements.Parquelfacteurestmultipli´eelaquantite´produite? Commentinterpre´ter´economiquementlapositiondunombrea+brrapporta`?1pa ´ 2. Etuded’un cas particulier. On suppose dans cette question (et seulement dans celle-ci) quea=b= 1/2 etu= 4,v= 1. (a)V´erifierquel’ensembledespoints(x, y) avecx >0,y >0 tels quef(x, yes=2)rbouactlqeaude´’itno y= 4/x. (b)D´eterminerunee´quationdelatangentea`lacourbed’´equationy= 4/xau point d’abscisse 1. (c)Construiresurunemˆemefigure(unite´2cm)lesensemblesdespoints(x, y) tels que : •x >0,y >0 etf(x, y) = 2. •x >0,y >0 etg(x, y) = 8. •x >0,y >0 etg(x, y) = 10. De´terminerlespointsd’intersectiondupremierdecesensemblesaveclesdeuxsuivantsetdonner uneinterpre´tationdecespointsentermesdeproductionetdecouˆtdeproduction. (d)R´epondreauxdeuxquestionssuivantesenjustifiantgraphiquementvotreraisonnement: •Pourroduunepmilaleuelestˆucointmoitcge´n`elaq,2aKenvisageable ? •aluqPnoauirtu´ntcpoeˆourtu´degal`a8,quelleestemitimaxealQenvisageable ?

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