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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION 2001
Option èconomique
MATHÈMATIQUES III Mercredi 2 mai 2001 de 8h 00 À 12h 00
La prsentation, la lisibilit, l’orthographe, la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’apprciation des copies. Les candidats sont invits À encadrer dans la mesure du possible les rsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matriel lectronique est inter dite. Seule l’utilisation d’une rgle gradue est autorise. EXERCICE 1(Ètude d’une suite de nombres rels) On tudie dans cet exercice la suite (Sn) dfinie pourn1 par : n X 1 11 1 Sn=1+ + +∙ ∙ ∙+c’estÀdireSn=. 2 2 4 9n k k=1 A cet eet, on introduit pour tout nombre entierk0 les deux intgrales suivantes : Z Z π π 2 2 2k2 2k Ik=cos (t)dt;Jk=tcos (t)dt. 0 0 1. Convergencede la suite (Jk/Ik). (a) Ètablirl’ingalit suivante pour tout nombre relttel que 0tπ/2 : π tsin(t). 2 (b) Ètablirl’ingalit suivante pour tout nombre entierk0 : 2 π 0Jk(IkIk+1). 4 0 (c) ExprimerIk+1en fonction deIken intgrant par parties l’intgraleIk+1(on pourra poseru(t)=cos(t) et 2k+1 v(t)=cos (t) dans l’intgration par parties). (d) Dduiredes rsultats prcdents queJk/Iktend vers 0 quandktend vers+. 2. Convergenceet limite de la suite (Sn). (a) ExprimerIken fonction deJketJk1en intgrant deux fois par parties l’intgraleIk(k1). (b) Endduire la relation suivante pourk1 : Jk1Jk1 =. 2 Ik1Ik2k (c) CalculerJ0etI0, puis dterminer la limiteSde la suite (Sn).
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