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ESSEC 2001 mathematiques iii classe prepa hec (ece)

3 pages
ESSECM B ACONCOURSD’ADMISSION2001OptionéconomiqueMATHÉMATIQUESIIIMercredi 2 mai 2001 de 8h 00 à 12h 00Laprésentation,lalisibilité,l’orthographe,laqualitédelarédaction,laclartéetlaprécisiondesraisonnementsentrerontpour une part importante dans l’appréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est inter-dite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.EXERCICE1 (Étude d’une suite de nombres réels)On étudie dans cet exercice la suite (S ) définie pour n≥ 1 par :nnX1 1 1 1S = 1+ + +···+ c’est à dire S = .n n2 24 9 n kk=1A cet effet, on introduit pour tout nombre entier k≥ 0 les deux intégrales suivantes :Z π Z π2 22k 2 2kI = cos (t)dt ; J = t cos (t)dt.k k0 01. Convergence de la suite (J /I ).k k(a) Établir l’inégalité suivante pour tout nombre réel t tel que 0≤ t≤ π/2 :πt≤ sin(t).2(b) Établir l’inégalité suivante pour tout nombre entier k≥ 0 :2π0≤ J ≤ (I − I ).k k k+140(c) Exprimer I en fonction de I en intégrant par parties l’intégrale I (on pourra poser u (t) = cos(t) etk+1 k k+12k+1v(t)= cos (t) dans l’intégration par parties).(d) Déduire des résultats précédents que J /I tend vers 0 quand k tend vers+∞.k k2. Convergence et limite de la suite (S ).n(a) Exprimer I en fonction de J et J en intégrant deux fois par parties l’intégrale I (k≥ 1).k k ...
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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION 2001
Option èconomique
MATHÈMATIQUES III Mercredi 2 mai 2001 de 8h 00 À 12h 00
La prsentation, la lisibilit, l’orthographe, la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’apprciation des copies. Les candidats sont invits À encadrer dans la mesure du possible les rsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matriel lectronique est inter dite. Seule l’utilisation d’une rgle gradue est autorise. EXERCICE 1(Ètude d’une suite de nombres rels) On tudie dans cet exercice la suite (Sn) dfinie pourn1 par : n X 1 11 1 Sn=1+ + +∙ ∙ ∙+c’estÀdireSn=. 2 2 4 9n k k=1 A cet eet, on introduit pour tout nombre entierk0 les deux intgrales suivantes : Z Z π π 2 2 2k2 2k Ik=cos (t)dt;Jk=tcos (t)dt. 0 0 1. Convergencede la suite (Jk/Ik). (a) Ètablirl’ingalit suivante pour tout nombre relttel que 0tπ/2 : π tsin(t). 2 (b) Ètablirl’ingalit suivante pour tout nombre entierk0 : 2 π 0Jk(IkIk+1). 4 0 (c) ExprimerIk+1en fonction deIken intgrant par parties l’intgraleIk+1(on pourra poseru(t)=cos(t) et 2k+1 v(t)=cos (t) dans l’intgration par parties). (d) Dduiredes rsultats prcdents queJk/Iktend vers 0 quandktend vers+. 2. Convergenceet limite de la suite (Sn). (a) ExprimerIken fonction deJketJk1en intgrant deux fois par parties l’intgraleIk(k1). (b) Endduire la relation suivante pourk1 : Jk1Jk1 =. 2 Ik1Ik2k (c) CalculerJ0etI0, puis dterminer la limiteSde la suite (Sn).
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