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Probabilités - Loi de Poisson
Travaux publics Une entreprise fabrique des supports d'auvent utilisés notamment dans la construction de stades. Ces pièces sont réalisées en béton. Soit la variable aléatoire X qui à chaque production de 50 pièces associe le nombre de supports défectueux qu'elle contient. La production est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler tout tirage de 50 supports à 50 tirages aléatoires et indépendants. On admet que X suit la loi de Poisson de paramètre  1. Donner à 10 % 2 près : a) P ( X = 0). b) P ( X  ³ 4).
Traitement des matériaux L'objectif de cet exercice est d'analyser la production d'une entreprise réalisant des résistors pour des fours électriques. Ces résistors sont fabriqués à partir de fil métallique livré en bobine. Le fil utilisé présente des défauts soit de diamètre soit d'homgénéité qui rendent inutilisable le résistor. On considère un très grand nombre de bobines et on constate que sur l'ensemble des résistors produits avec le fil d'une bobine, il y a en moyenne 6 résistors défectueux. On admet que la variable aléatoire Z qui, à tout fabrication utilisant une bobine prélevée au hasard, associe le nombre de résistors défectueux, suit une loi de Poisson de paramètre l . a) Déterminer la valeur de l . b)Calculer la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 10 % 3 près : de la probabilité P 1 qu'il n'y ait aucun résistor défectueux,  de la probabilité P 2 qu'il n'y ait pas plus de 6 résistors défectueux.  
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Probabilités - Loi de Poisson
Industrie et commerce du bois
Une usine a vendu 100 machines à laver. Celles-ci ont été utilisées le même nombre d'heures dans une année. Le tableau suivant donne la répartition du nombre des réparations xi suivant le nombre ni de machines vendues. Nombre de réparations xi 0 1 2 3 4 Nombre de machines ni 58 32 7 3 0 1° Calculer le nombre moyen l de réparations. 2° Soit X la variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre l , déterminer à 0,001 près P ( X = 0) , P ( X = 1) , P ( X = 2) , P ( X = 3) , P ( X = 4). 3° Comparer les valeurs de ni avec celles déduites de la loi de Poisson de même moyenne.
Fabrications textiles
On considère que la variable aléatoire X , qui mesure la durée de vie exprimée en nombre entier d'années d'un équipement industriel, suit la loi de Poisson de paramètre l = 5. On définit la fonction Η  de ce même équipement par : v ( t ) = P ( X > t ). Montrer que v (1) = 0,959. Présenter sous forme de tableau les valeurs de v ( t ) pour t  entier, 1 σ  t  σ 10, on donnera les valeurs approchées à 0,001 près.
Analyses biologiques
1°Une suspension de 10 6 bactéries est infectée par une population de phages (particules infectieuses). A la fin de l’expérience, on a constaté que 65 × 10 4 bactéries ont été infectées. Quel est le pourcentage de bactéries infectées ? 2° On observe une bactérie au hasard. Soit X  la variable aléatoire qui, à toute bactérie aléatoire associe le nombre de phages infectant cette bactérie. On admet que X  suit une loi de Poisson de paramètre m . a) En calculant P ( X = 0), justifier le choix du paramètre m = 1,05. b) Déterminer à 0,001 près P( X = 1), P( X = 2), P( X = 3). Quel est le nombre moyen de phages par bactérie infectée ?
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