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FESIC mathematiques 2001

7 pages
Concours d’entr´ee FESIC 2001Dans toute question ou` il intervient le plan (respectivement l’espace) est−→ →−rapport´e`aunrep`ere orthonormal direct (O, ı,  )=(Oxy) (respectivement →−−→ −→O, ı,, k =(Oxyz)).Exercice 1Soit f la fonction d´efinie sur I = ]−∞, 1] par√f(x)=2x 1− xet C sa courbe repr´esentative. On d´esigne par T la tangente `alacourbeC au point d’abscisse x=0.2− 3xa) Pour tout x<1, on a: f (x)=√ .1− x√4 3b) Pour tout x∈ I, on a: f(x) .9c) Une ´equation cart´esienne de T est y =2x.d) La courbeC est au-dessus de T.Exercice 2Soit f et g les fonctions d´efinies sur I = ]−∞, 1] par−x xf(x)=ln(x+1)+e et g(x)=e − (x+1).a) La fonction g est positive sur I.−xeb) Pour tout x∈ I, on a: f (x)= g(x).x+1c) La fonction f est bijective de I sur ]0, +∞[.d) Il existe un unique r´eel α dans I tel que f(α)=0.Exercice 3Soit f la fonction d´efinie surR parxf(x)=(−x+3)e ,Concours FESIC 2001 2et C sa courbe repr´esentative.a) Pour tout x>0, on a: f(x)−x+3.b) La droite d’´equation y = 0 est asymptote al` acourbeC.c) La fonction f admet un unique extremum.2d) Pour tout r´eel m =e,l’´equation f(x)=m admet soit 0 soit 2solutions.Exercice 4Soit f la fonction d´efinie par2x xf(x)=ln e − e +1),D son ensemble de d´efinition etC sa courbe reifr´esentative.a) On a:D =R.−x −2xb) Pour tout x∈D,ona:f(x)=2x+ln(1− e +e ).c) La courbe C admet la droite d’´equation y =2x comme asymptote en+∞.d) La courbeC admet une unique tangente parall`ele ...
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Concoursdentr´eeFESIC2001
Danstoutequestionou`ilintervientleplan(respectivementlespace)est rapporte´a`unrep`ereorthonormaldirect(O, ı, ) = (Oxy) (respectivement   O, k, ı, = (Oxyz) ).
Exercice 1 Soitftcoifanol=]surIniend´e− ∞,1] par
f(x) = 2x1x etCgiseapenalTrgnatse´eatnte.ivd´Onente`alacourbeprrebeurcosa Cau point d’abscissex= 0. 23x a)Pour toutx <1, on a:f(x) =. 1x 4 3 b)Pour toutxI, on a:f(x). 9 c)ednneseTt´arieestauqcnoiUte´eny= 2x. d)La courbeCest au-dessus de T.
Exercice 2 Soitfetgd´nsioctonsfleIr]=seusein− ∞,1] par
x x f(x) = ln(x+ 1) + eetg(x) = e(x+ 1). a)La fonctiongest positive sur I. x e b)Pour toutxI, on a:f(x) =g(x). x+ 1 c)La fonctionfest bijective de I sur ]0,+[. d)´reeqieununusietlxelIαdans I tel quef(α) = 0.
Exercice 3 Soitfinserued´ontincfolaRpar
x f(x) = (x+ 3)e,
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