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GEIPI mathematiques 1999

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Terminale S mai 1999 Concours Geipi 1999 Correction dans Sujets corrigés de Maths, Ecoles d’ingénieurs, Ellipses, 2002. 1. Exercice 1 (19 points) Les Parties A et B sont indépendantes. Partie A xÉtude d'une suite : on considère la fonction h définie sur [0 ; +∞ [ par h(x)= . 21+x+xv = 1 1On définit la suite (v ) par récurrence en posant : . n *n∈ v = h(v ) pour tout n≥ 1 n+1 n11. a. Exprimer h( ) en fonction de n. n1 1b. Justifier alors que, pour tout n ∈ *, on a h( )≤ . n n+12. a. Déterminer h '(x). b. Quel est le sens de variation de h sur [0 ; 1] ? 1 13. a. Soit p ∈ *. On suppose que 0≤ v ≤ ; justifier alors que 0≤ v ≤ . p p+1p p+11b. En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout n ∈ *, 0≤ v ≤ . nn4. Déterminer lim v . Justifier la réponse. nn→+∞Partie B : Étude d'une fonction f 1−xOn considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x)= (x+1)e . On note (C) sa courbe r rreprésentative dans un repère orthonormal O ;i ,j . ( )I - Calculer la dérivée f ‘ de f sur ]0 ; +∞[ et donner le tableau de variation de f en précisant les limites de f en 0 et en +∞. 2X−XII - On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(X)= e −1+ X− . 21. a. Déterminer g '(X)et g ''(X) pour tout X ≥ 0 . b. Quel est le signe de g '(X) sur [0 ; +∞ [ ? Justifier la réponse. c. Quel est le signe de g(X) sur [0 ; +∞[ ? Justifier la réponse. 2. À l'aide des signes de g(X) et de g'(X), déterminer ...
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