HEC 1999 mathematiques i classe prepa b/l

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6CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION BLMATHEMATIQUES ILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Ond´esiretestersilar´epartitiondesvoyellesdansuntexteanciencorresponda`celledelalanguefran¸caiseactuelle.On ´etudie quelques aspects probabilistes permettant de r´epondre `a cette question.Les parties 1 et 2 sont ind´ependantes. La partie 3 utilise les notations et les r´esultats des parties pr´ec´edentes.NotationSi X et Y sont deux variables al´eatoires discr`etes, on note cov(X,Y) leur covariance, si celle-ci existe.Partie 1Soientn ets des entiers sup´erieurs ou´egaux `a 2. On consid`ere une urne contenant des boules de couleursC ,..,C .1 ssPLes boules de couleur C sont en proportion p . On a donc p = 1 et on suppose que, pour tout i, p > 0.i i i ii=1On effectue n tirages successifs d’une boule avec remise.Pour tout ...

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION BL MATHEMATIQUES I

Lapre´sentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument:l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautorise´e.

Ond´esiretestersilare´partitiondesvoyellesdansuntexteanciencorrespond`acelledelalanguefranc¸aiseactuelle. One´tudiequelquesaspectsprobabilistespermettantder´epondrea`cettequestion. Lesparties1et2sontinde´pendantes.Lapartie3utiliselesnotationsetlesre´sultatsdespartiespre´c´edentes.

Notation SiXetYiablxvartdeusonnoonte`ecrs,teeriosidslasetae´cov(X, Y) leur covariance, si celle-ci existe.

Partie 1 Soientnetsonternecuneu`eredsceuoeledbsantnsurleouseneitredrseu´eouupssri´eocnOdisnxuag.2a`C 1 , .., C s . s P Les boules de couleurC i sont en proportionp i . On a doncp i = 1 et on suppose que, pour touti,p i >0. i=1 On effectuentirages successifs d’une boule avec remise. Pour toutide{1, .., s}, on noteX i aelbae´lvalairaurleeldsceuorbdebeuoaleaunomtoire´egC i `aesnuteob l’issue desntirages (on remarque que la variableX i d´ddnpeeenavtliaareableal´.)´dnOinfieotrieU n par : 2 s P (X i −np i ) U n = . np i=1 i A. Etude des variablesX i. 1.De´terminerlaloideX i ,eranesp´scea.vacreieatnsno 2 2. Soit(i, j)∈ {1, .., s}tel quei6=jinrmte´e.DediolalreX i +X j et sa variance. End´eduirequecov(X i , X j ) =−np i p j .

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