HEC 2000 mathematiques i classe prepa hec (stg)

Description

n2(1)12xN=2>n+)nnxu)(nmn1n2)=nNux(l+1fn(+2annu(nn+1(nnunm1nnmu+1nmxun(ma1axm(uam))aH((x1u)Nu21n))nuu1(+1nu1>fu)nn>uu(1nn1pf+1nuu1+1n2u)nu2)5(pf)n(uanpxna1xfllanlul)aHl(+1paN2HEC 2000OPTION TECHNOLOGIQUEMATHEMATIQUESMardi 16 Mai 2000, de 8 ha1` 2hLa pre´sentation, la lisibilite´; l’orthographe, la qualited´ elare´daction, la clartee´ tlapre´cision des raisonnements entrerontpour une part importante dans l’appreci´ ation des copies.Les candidats sont invites´ a` encadrer dans la mesure du possible les re´sultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usaged’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mater´ iel el´ ectronique est interdite.Seule l’utilisation d’une re`gle gradue´e est autorisee´ .L’e´ preuve est composee´ de deux exercices inde´pendants.Exercice I1. Soit un re´el strictement positif.a. Montrer que l’e´quation posse`de une unique solution re´elle positive ou nulle qu’on preci´ sera. On notecette solution. Preci´ ser la valeur de(1) et comparer, suivant les valeurs de ,lesr eel´ s et .´b. Etudier les variations de la fonction d´ efinie, pour tout reel´ positif ou nul, par:)= . Donner sontableau de variation (on placera la valeur dans ce tableau). Quel est, suivant la valeur de , le signe de ?2. On conside`re la suite re´elle d´ efinie ...

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Extrait

HEC 2000

OPTION TECHNOLOGIQUE

MATHEMATIQUES

Mardi 16 Mai 2000, de 8 h `

a

1

2

h

La pr´esentation, la lisibilit´e;l’orthographe,la qualit´ede la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront

pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage

d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electronique est interdite.

Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.

L’´epreuve est compos´ee de deux exercices ind´ependants.

Exercice I

1.

Soit

un r´eel strictement positif.

a.

Montrer que l’´equation

poss`ede une unique solution r´eelle positive ou nulle qu’on pr´ecisera. On note

cette solution. Pr´eciser la valeur de

et comparer, suivant les valeurs de

,

l

e

s

r

´eels

et

.

b.

´

Etudier les variations de la fonction

d´efinie, pour tout r´eel

positif ou nul, par:

. Donner son

tableau de variation (on placera la valeur

dans ce tableau). Quel est, suivant la valeur de

, le signe de

?

2.

On consid`ere la suite r´eelle

d´efinie par son premier terme

strictement positif et, pour tout entier naturel

non nul, par la relation de r´ecurrence :

.

Justifier l’in´egalit´e

.

Soit

un entier naturel au moins ´egal `a

v´erifiant

;

´etablir l’in´egalit´e

et en d´eduire que la suite

est strictement minor´ee par

.

3.

Montrer que si la suite

converge, alors sa limite est

.

4.

Dans cette question, on suppose v´erifi´ee la propri´et´e suivante :

Pour tout entier naturel non nul,

a.

Pour tout entier naturel

non nul, ´etablir l’in´egalit´e :

.

b.

Pour tout entier naturel

non nul, exprimer

en fonction de

puis, `a l’aide du tableau de variation de

, prouver que la suite est croissante.

c.

En d´eduire que la suite

converge vers un r´eel strictement sup´erieur `a

et aboutir `a une contradiction.

Ainsi la propri´et´e

n’est pas v´erifi´ee.

5.

On note

un entier naturel non nul v´erifiant

.

a.

´

Etablir l’in´egalit´e :

.

b.

Soit

un entier naturel au moins ´egal `a

v´erifiant

;

´etablir l’in´egalit´e

et en d´eduire que la

suite

est strictement d´ecroissante.

c.

Montrer que la suite

converge vers

.

1